Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75554 / 54555
↖ ↑ ↗
← N 28.856702°
E 27.515259°		 ← 267.50 m → N 28.856702°
E 27.518006°		 →
↑
267.45 m
↓
↑
267.45 m
↓
N 28.854297°
E 27.515259°		 ← 267.51 m →
71 545 m²		 N 28.854297°
E 27.518006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576435089111328 y=0.416225433349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576435089111328 × 217)
    floor (0.576435089111328 × 131072)
    floor (75554.5)     		tx = 75554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416225433349609 × 217)
    floor (0.416225433349609 × 131072)
    floor (54555.5)     		ty = 54555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75554 / 54555 ti = "17/75554/54555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75554/54555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75554 ÷ 217
    75554 ÷ 131072     		x = 0.576431274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54555 ÷ 217
    54555 ÷ 131072     		y = 0.416221618652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576431274414062 × 2 - 1) × π
    0.152862548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48023186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416221618652344 × 2 - 1) × π
    0.167556762695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.526395094727837
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48023186} λ = 0.48023186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.526395094727837))-π/2
    2×atan(1.69281884443235)-π/2
    2×1.03722039453332-π/2
    2.07444078906664-1.57079632675     		φ = 0.50364446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48023186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.515259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50364446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.856702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75554 KachelY 54555 0.48023186 0.50364446 27.515259 28.856702
    Oben rechts KachelX + 1 75555 KachelY 54555 0.48027980 0.50364446 27.518006 28.856702
    Unten links KachelX 75554 KachelY + 1 54556 0.48023186 0.50360248 27.515259 28.854297
    Unten rechts KachelX + 1 75555 KachelY + 1 54556 0.48027980 0.50360248 27.518006 28.854297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50364446-0.50360248) × R
    4.1979999999997e-05 × 6371000     		dl = 267.454579999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50364446-0.50360248) × R
    4.1979999999997e-05 × 6371000     		dr = 267.454579999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48023186-0.48027980) × cos(0.50364446) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.875829490501538 × 6371000     		do = 267.50087025008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48023186-0.48027980) × cos(0.50360248) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.875849750145184 × 6371000     		du = 267.507058066732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50364446)-sin(0.50360248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875829490501538-0.875849750145184)×R²
    abs(0.48027980-0.48023186)×2.02596436463809e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.02596436463809e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.02596436463809e-05×40589641000000     		ar = 71545.16039283m²