Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75552 / 57824
↖ ↑ ↗
← N 20.715015°
E 27.509766°		 ← 285.62 m → N 20.715015°
E 27.512512°		 →
↑
285.68 m
↓
↑
285.68 m
↓
N 20.712446°
E 27.509766°		 ← 285.63 m →
81 596 m²		 N 20.712446°
E 27.512512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576419830322266 y=0.441165924072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576419830322266 × 217)
    floor (0.576419830322266 × 131072)
    floor (75552.5)     		tx = 75552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441165924072266 × 217)
    floor (0.441165924072266 × 131072)
    floor (57824.5)     		ty = 57824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75552 / 57824 ti = "17/75552/57824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75552/57824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75552 ÷ 217
    75552 ÷ 131072     		x = 0.576416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57824 ÷ 217
    57824 ÷ 131072     		y = 0.441162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576416015625 × 2 - 1) × π
    0.15283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.48013599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441162109375 × 2 - 1) × π
    0.11767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.369689369869873
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48013599} λ = 0.48013599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.369689369869873))-π/2
    2×atan(1.44728497451109)-π/2
    2×0.966170772837346-π/2
    1.93234154567469-1.57079632675     		φ = 0.36154522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48013599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.509766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36154522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.715015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75552 KachelY 57824 0.48013599 0.36154522 27.509766 20.715015
    Oben rechts KachelX + 1 75553 KachelY 57824 0.48018392 0.36154522 27.512512 20.715015
    Unten links KachelX 75552 KachelY + 1 57825 0.48013599 0.36150038 27.509766 20.712446
    Unten rechts KachelX + 1 75553 KachelY + 1 57825 0.48018392 0.36150038 27.512512 20.712446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36154522-0.36150038) × R
    4.48399999999904e-05 × 6371000     		dl = 285.675639999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36154522-0.36150038) × R
    4.48399999999904e-05 × 6371000     		dr = 285.675639999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48013599-0.48018392) × cos(0.36154522) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.935351365381345 × 6371000     		do = 285.620791695963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48013599-0.48018392) × cos(0.36150038) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.935367225244861 × 6371000     		du = 285.625634696082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36154522)-sin(0.36150038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935351365381345-0.935367225244861)×R²
    abs(0.48018392-0.48013599)×1.58598635155993e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.58598635155993e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.58598635155993e-05×40589641000000     		ar = 81595.5942422288m²