Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75551 / 54562
↖ ↑ ↗
← N 28.839862°
E 27.507019°		 ← 267.54 m → N 28.839862°
E 27.509766°		 →
↑
267.58 m
↓
↑
267.58 m
↓
N 28.837456°
E 27.507019°		 ← 267.55 m →
71 591 m²		 N 28.837456°
E 27.509766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576412200927734 y=0.416278839111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576412200927734 × 217)
    floor (0.576412200927734 × 131072)
    floor (75551.5)     		tx = 75551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416278839111328 × 217)
    floor (0.416278839111328 × 131072)
    floor (54562.5)     		ty = 54562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75551 / 54562 ti = "17/75551/54562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75551/54562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75551 ÷ 217
    75551 ÷ 131072     		x = 0.576408386230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54562 ÷ 217
    54562 ÷ 131072     		y = 0.416275024414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576408386230469 × 2 - 1) × π
    0.152816772460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.48008805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416275024414062 × 2 - 1) × π
    0.167449951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.526059536430496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48008805} λ = 0.48008805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.526059536430496))-π/2
    2×atan(1.69225090031771)-π/2
    2×1.03707343670993-π/2
    2.07414687341986-1.57079632675     		φ = 0.50335055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48008805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.507019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50335055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.839862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75551 KachelY 54562 0.48008805 0.50335055 27.507019 28.839862
    Oben rechts KachelX + 1 75552 KachelY 54562 0.48013599 0.50335055 27.509766 28.839862
    Unten links KachelX 75551 KachelY + 1 54563 0.48008805 0.50330855 27.507019 28.837456
    Unten rechts KachelX + 1 75552 KachelY + 1 54563 0.48013599 0.50330855 27.509766 28.837456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50335055-0.50330855) × R
    4.19999999999865e-05 × 6371000     		dl = 267.581999999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50335055-0.50330855) × R
    4.19999999999865e-05 × 6371000     		dr = 267.581999999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48008805-0.48013599) × cos(0.50335055) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.87597129970989 × 6371000     		do = 267.544182432789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48008805-0.48013599) × cos(0.50330855) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.875991558192782 × 6371000     		du = 267.550369894918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50335055)-sin(0.50330855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87597129970989-0.875991558192782)×R²
    abs(0.48013599-0.48008805)×2.02584828917773e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.02584828917773e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.02584828917773e-05×40589641000000     		ar = 71590.8352609039m²