Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75551 / 54559
↖ ↑ ↗
← N 28.847080°
E 27.507019°		 ← 267.53 m → N 28.847080°
E 27.509766°		 →
↑
267.52 m
↓
↑
267.52 m
↓
N 28.844674°
E 27.507019°		 ← 267.53 m →
71 569 m²		 N 28.844674°
E 27.509766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576412200927734 y=0.416255950927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576412200927734 × 217)
    floor (0.576412200927734 × 131072)
    floor (75551.5)     		tx = 75551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416255950927734 × 217)
    floor (0.416255950927734 × 131072)
    floor (54559.5)     		ty = 54559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75551 / 54559 ti = "17/75551/54559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75551/54559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75551 ÷ 217
    75551 ÷ 131072     		x = 0.576408386230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54559 ÷ 217
    54559 ÷ 131072     		y = 0.416252136230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576408386230469 × 2 - 1) × π
    0.152816772460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.48008805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416252136230469 × 2 - 1) × π
    0.167495727539062 × 3.1415926535     		Φ = 0.526203347129356
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48008805} λ = 0.48008805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.526203347129356))-π/2
    2×atan(1.69249428160233)-π/2
    2×1.03713642154765-π/2
    2.07427284309531-1.57079632675     		φ = 0.50347652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48008805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.507019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50347652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.847080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75551 KachelY 54559 0.48008805 0.50347652 27.507019 28.847080
    Oben rechts KachelX + 1 75552 KachelY 54559 0.48013599 0.50347652 27.509766 28.847080
    Unten links KachelX 75551 KachelY + 1 54560 0.48008805 0.50343453 27.507019 28.844674
    Unten rechts KachelX + 1 75552 KachelY + 1 54560 0.48013599 0.50343453 27.509766 28.844674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50347652-0.50343453) × R
    4.19899999999362e-05 × 6371000     		dl = 267.518289999594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50347652-0.50343453) × R
    4.19899999999362e-05 × 6371000     		dr = 267.518289999594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48008805-0.48013599) × cos(0.50347652) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.875910529464285 × 6371000     		do = 267.525621635555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48008805-0.48013599) × cos(0.50343453) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.875930787757238 × 6371000     		du = 267.531809039672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50347652)-sin(0.50343453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875910529464285-0.875930787757238)×R²
    abs(0.48013599-0.48008805)×2.0258292953157e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.0258292953157e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.0258292953157e-05×40589641000000     		ar = 71568.824463404m²