Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75550 / 57697
↖ ↑ ↗
← N 21.040928°
E 27.504272°		 ← 285.06 m → N 21.040928°
E 27.507019°		 →
↑
285.04 m
↓
↑
285.04 m
↓
N 21.038365°
E 27.504272°		 ← 285.07 m →
81 254 m²		 N 21.038365°
E 27.507019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576404571533203 y=0.440196990966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576404571533203 × 217)
    floor (0.576404571533203 × 131072)
    floor (75550.5)     		tx = 75550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440196990966797 × 217)
    floor (0.440196990966797 × 131072)
    floor (57697.5)     		ty = 57697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75550 / 57697 ti = "17/75550/57697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75550/57697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75550 ÷ 217
    75550 ÷ 131072     		x = 0.576400756835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57697 ÷ 217
    57697 ÷ 131072     		y = 0.440193176269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576400756835938 × 2 - 1) × π
    0.152801513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.48004011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440193176269531 × 2 - 1) × π
    0.119613647460938 × 3.1415926535     		Φ = 0.37577735612162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.48004011} λ = 0.48004011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.37577735612162))-π/2
    2×atan(1.45612290082815)-π/2
    2×0.969014897174636-π/2
    1.93802979434927-1.57079632675     		φ = 0.36723347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.48004011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.504272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36723347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.040928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75550 KachelY 57697 0.48004011 0.36723347 27.504272 21.040928
    Oben rechts KachelX + 1 75551 KachelY 57697 0.48008805 0.36723347 27.507019 21.040928
    Unten links KachelX 75550 KachelY + 1 57698 0.48004011 0.36718873 27.504272 21.038365
    Unten rechts KachelX + 1 75551 KachelY + 1 57698 0.48008805 0.36718873 27.507019 21.038365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36723347-0.36718873) × R
    4.47399999999876e-05 × 6371000     		dl = 285.038539999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36723347-0.36718873) × R
    4.47399999999876e-05 × 6371000     		dr = 285.038539999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.48004011-0.48008805) × cos(0.36723347) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933324196401733 × 6371000     		do = 285.061233345718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.48004011-0.48008805) × cos(0.36718873) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.933340258681886 × 6371000     		du = 285.066139179519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36723347)-sin(0.36718873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933324196401733-0.933340258681886)×R²
    abs(0.48008805-0.48004011)×1.60622801526067e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60622801526067e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60622801526067e-05×40589641000000     		ar = 81254.1369528631m²