Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7555 / 4986
↖ ↑ ↗
← N 57.397624°
W 13.996582°		 ← 1 316.42 m → N 57.397624°
W 13.974610°		 →
↑
1 316.63 m
↓
↑
1 316.63 m
↓
N 57.385783°
W 13.996582°		 ← 1 316.84 m →
1 733 517 m²		 N 57.385783°
W 13.974610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461151123046875 y=0.304351806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461151123046875 × 214)
    floor (0.461151123046875 × 16384)
    floor (7555.5)     		tx = 7555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304351806640625 × 214)
    floor (0.304351806640625 × 16384)
    floor (4986.5)     		ty = 4986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7555 / 4986 ti = "14/7555/4986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7555/4986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7555 ÷ 214
    7555 ÷ 16384     		x = 0.46112060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4986 ÷ 214
    4986 ÷ 16384     		y = 0.3043212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46112060546875 × 2 - 1) × π
    -0.0777587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24428644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3043212890625 × 2 - 1) × π
    0.391357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2294856014552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24428644} λ = -0.24428644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2294856014552))-π/2
    2×atan(3.41947011335587)-π/2
    2×1.28628692467881-π/2
    2.57257384935762-1.57079632675     		φ = 1.00177752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24428644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.996582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00177752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.397624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7555 KachelY 4986 -0.24428644 1.00177752 -13.996582 57.397624
    Oben rechts KachelX + 1 7556 KachelY 4986 -0.24390295 1.00177752 -13.974610 57.397624
    Unten links KachelX 7555 KachelY + 1 4987 -0.24428644 1.00157086 -13.996582 57.385783
    Unten rechts KachelX + 1 7556 KachelY + 1 4987 -0.24390295 1.00157086 -13.974610 57.385783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00177752-1.00157086) × R
    0.000206660000000136 × 6371000     		dl = 1316.63086000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00177752-1.00157086) × R
    0.000206660000000136 × 6371000     		dr = 1316.63086000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24428644--0.24390295) × cos(1.00177752) × R
    0.000383489999999986 × 0.538805721587631 × 6371000     		do = 1316.41810791948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24428644--0.24390295) × cos(1.00157086) × R
    0.000383489999999986 × 0.538979806675415 × 6371000     		du = 1316.84343518067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00177752)-sin(1.00157086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.538805721587631-0.538979806675415)×R²
    abs(-0.24390295--0.24428644)×0.000174085087783715×R²
    0.000383489999999986×0.000174085087783715×6371000²
    0.000383489999999986×0.000174085087783715×40589641000000     		ar = 1733516.71121917m²