Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75549 / 57908
↖ ↑ ↗
← N 20.499065°
E 27.501526°		 ← 286.03 m → N 20.499065°
E 27.504272°		 →
↑
286.12 m
↓
↑
286.12 m
↓
N 20.496491°
E 27.501526°		 ← 286.03 m →
81 839 m²		 N 20.496491°
E 27.504272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576396942138672 y=0.441806793212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576396942138672 × 217)
    floor (0.576396942138672 × 131072)
    floor (75549.5)     		tx = 75549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441806793212891 × 217)
    floor (0.441806793212891 × 131072)
    floor (57908.5)     		ty = 57908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75549 / 57908 ti = "17/75549/57908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75549/57908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75549 ÷ 217
    75549 ÷ 131072     		x = 0.576393127441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57908 ÷ 217
    57908 ÷ 131072     		y = 0.441802978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576393127441406 × 2 - 1) × π
    0.152786254882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.47999218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441802978515625 × 2 - 1) × π
    0.11639404296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.365662670301788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47999218} λ = 0.47999218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.365662670301788))-π/2
    2×atan(1.44146891035945)-π/2
    2×0.964286246054318-π/2
    1.92857249210864-1.57079632675     		φ = 0.35777617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47999218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.501526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35777617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.499065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75549 KachelY 57908 0.47999218 0.35777617 27.501526 20.499065
    Oben rechts KachelX + 1 75550 KachelY 57908 0.48004011 0.35777617 27.504272 20.499065
    Unten links KachelX 75549 KachelY + 1 57909 0.47999218 0.35773126 27.501526 20.496491
    Unten rechts KachelX + 1 75550 KachelY + 1 57909 0.48004011 0.35773126 27.504272 20.496491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35777617-0.35773126) × R
    4.49100000000091e-05 × 6371000     		dl = 286.121610000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35777617-0.35773126) × R
    4.49100000000091e-05 × 6371000     		dr = 286.121610000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47999218-0.48004011) × cos(0.35777617) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.936677906839994 × 6371000     		do = 286.025867088987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47999218-0.48004011) × cos(0.35773126) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.936693633022086 × 6371000     		du = 286.030669267874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35777617)-sin(0.35773126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936677906839994-0.936693633022086)×R²
    abs(0.48004011-0.47999218)×1.57261820920018e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.57261820920018e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.57261820920018e-05×40589641000000     		ar = 81838.8686104343m²