Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75549 / 56823
↖ ↑ ↗
← N 23.264057°
E 27.501526°		 ← 280.53 m → N 23.264057°
E 27.504272°		 →
↑
280.58 m
↓
↑
280.58 m
↓
N 23.261534°
E 27.501526°		 ← 280.54 m →
78 713 m²		 N 23.261534°
E 27.504272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576396942138672 y=0.433528900146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576396942138672 × 217)
    floor (0.576396942138672 × 131072)
    floor (75549.5)     		tx = 75549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433528900146484 × 217)
    floor (0.433528900146484 × 131072)
    floor (56823.5)     		ty = 56823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75549 / 56823 ti = "17/75549/56823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75549/56823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75549 ÷ 217
    75549 ÷ 131072     		x = 0.576393127441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56823 ÷ 217
    56823 ÷ 131072     		y = 0.433525085449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576393127441406 × 2 - 1) × π
    0.152786254882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.47999218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433525085449219 × 2 - 1) × π
    0.132949829101562 × 3.1415926535     		Φ = 0.417674206389549
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47999218} λ = 0.47999218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.417674206389549))-π/2
    2×atan(1.51842590035323)-π/2
    2×0.988415363424756-π/2
    1.97683072684951-1.57079632675     		φ = 0.40603440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47999218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.501526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40603440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.264057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75549 KachelY 56823 0.47999218 0.40603440 27.501526 23.264057
    Oben rechts KachelX + 1 75550 KachelY 56823 0.48004011 0.40603440 27.504272 23.264057
    Unten links KachelX 75549 KachelY + 1 56824 0.47999218 0.40599036 27.501526 23.261534
    Unten rechts KachelX + 1 75550 KachelY + 1 56824 0.48004011 0.40599036 27.504272 23.261534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40603440-0.40599036) × R
    4.40400000000229e-05 × 6371000     		dl = 280.578840000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40603440-0.40599036) × R
    4.40400000000229e-05 × 6371000     		dr = 280.578840000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47999218-0.48004011) × cos(0.40603440) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.918694332520638 × 6371000     		do = 280.534366328169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47999218-0.48004011) × cos(0.40599036) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.918711726076322 × 6371000     		du = 280.539677659641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40603440)-sin(0.40599036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918694332520638-0.918711726076322)×R²
    abs(0.48004011-0.47999218)×1.73935556840865e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.73935556840865e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.73935556840865e-05×40589641000000     		ar = 78712.7522209649m²