Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75548 / 57886
↖ ↑ ↗
← N 20.555652°
E 27.498779°		 ← 285.98 m → N 20.555652°
E 27.501526°		 →
↑
285.93 m
↓
↑
285.93 m
↓
N 20.553081°
E 27.498779°		 ← 285.98 m →
81 771 m²		 N 20.553081°
E 27.501526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576389312744141 y=0.441638946533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576389312744141 × 217)
    floor (0.576389312744141 × 131072)
    floor (75548.5)     		tx = 75548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441638946533203 × 217)
    floor (0.441638946533203 × 131072)
    floor (57886.5)     		ty = 57886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75548 / 57886 ti = "17/75548/57886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75548/57886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75548 ÷ 217
    75548 ÷ 131072     		x = 0.576385498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57886 ÷ 217
    57886 ÷ 131072     		y = 0.441635131835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576385498046875 × 2 - 1) × π
    0.15277099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47994424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441635131835938 × 2 - 1) × π
    0.116729736328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.36671728209343
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47994424} λ = 0.47994424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.36671728209343))-π/2
    2×atan(1.44298990235668)-π/2
    2×0.964780070563207-π/2
    1.92956014112641-1.57079632675     		φ = 0.35876381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47994424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.498779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35876381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.555652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75548 KachelY 57886 0.47994424 0.35876381 27.498779 20.555652
    Oben rechts KachelX + 1 75549 KachelY 57886 0.47999218 0.35876381 27.501526 20.555652
    Unten links KachelX 75548 KachelY + 1 57887 0.47994424 0.35871893 27.498779 20.553081
    Unten rechts KachelX + 1 75549 KachelY + 1 57887 0.47999218 0.35871893 27.501526 20.553081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35876381-0.35871893) × R
    4.48800000000249e-05 × 6371000     		dl = 285.930480000159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35876381-0.35871893) × R
    4.48800000000249e-05 × 6371000     		dr = 285.930480000159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47994424-0.47999218) × cos(0.35876381) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936331586348825 × 6371000     		do = 285.979767645776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47994424-0.47999218) × cos(0.35871893) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936347343537606 × 6371000     		du = 285.98458029682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35876381)-sin(0.35871893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936331586348825-0.936347343537606)×R²
    abs(0.47999218-0.47994424)×1.5757188781218e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5757188781218e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5757188781218e-05×40589641000000     		ar = 81771.0202888287m²