Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75546 / 57895
↖ ↑ ↗
← N 20.532505°
E 27.493286°		 ← 285.96 m → N 20.532505°
E 27.496033°		 →
↑
285.99 m
↓
↑
285.99 m
↓
N 20.529933°
E 27.493286°		 ← 285.97 m →
81 785 m²		 N 20.529933°
E 27.496033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576374053955078 y=0.441707611083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576374053955078 × 217)
    floor (0.576374053955078 × 131072)
    floor (75546.5)     		tx = 75546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441707611083984 × 217)
    floor (0.441707611083984 × 131072)
    floor (57895.5)     		ty = 57895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75546 / 57895 ti = "17/75546/57895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75546/57895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75546 ÷ 217
    75546 ÷ 131072     		x = 0.576370239257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57895 ÷ 217
    57895 ÷ 131072     		y = 0.441703796386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576370239257812 × 2 - 1) × π
    0.152740478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47984837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441703796386719 × 2 - 1) × π
    0.116592407226562 × 3.1415926535     		Φ = 0.366285849996849
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47984837} λ = 0.47984837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.366285849996849))-π/2
    2×atan(1.44236748447294)-π/2
    2×0.964578073520145-π/2
    1.92915614704029-1.57079632675     		φ = 0.35835982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47984837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.493286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35835982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.532505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75546 KachelY 57895 0.47984837 0.35835982 27.493286 20.532505
    Oben rechts KachelX + 1 75547 KachelY 57895 0.47989630 0.35835982 27.496033 20.532505
    Unten links KachelX 75546 KachelY + 1 57896 0.47984837 0.35831493 27.493286 20.529933
    Unten rechts KachelX + 1 75547 KachelY + 1 57896 0.47989630 0.35831493 27.496033 20.529933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35835982-0.35831493) × R
    4.48900000000196e-05 × 6371000     		dl = 285.994190000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35835982-0.35831493) × R
    4.48900000000196e-05 × 6371000     		dr = 285.994190000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47984837-0.47989630) × cos(0.35835982) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.936473357700748 × 6371000     		do = 285.96340554826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47984837-0.47989630) × cos(0.35831493) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.936489101418373 × 6371000     		du = 285.968213081834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35835982)-sin(0.35831493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936473357700748-0.936489101418373)×R²
    abs(0.47989630-0.47984837)×1.57437176251385e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.57437176251385e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.57437176251385e-05×40589641000000     		ar = 81784.560016483m²