Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75543 / 55574
↖ ↑ ↗
← N 26.377107°
E 27.485046°		 ← 273.63 m → N 26.377107°
E 27.487793°		 →
↑
273.63 m
↓
↑
273.63 m
↓
N 26.374646°
E 27.485046°		 ← 273.63 m →
74 875 m²		 N 26.374646°
E 27.487793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576351165771484 y=0.423999786376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576351165771484 × 217)
    floor (0.576351165771484 × 131072)
    floor (75543.5)     		tx = 75543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423999786376953 × 217)
    floor (0.423999786376953 × 131072)
    floor (55574.5)     		ty = 55574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75543 / 55574 ti = "17/75543/55574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75543/55574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75543 ÷ 217
    75543 ÷ 131072     		x = 0.576347351074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55574 ÷ 217
    55574 ÷ 131072     		y = 0.423995971679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576347351074219 × 2 - 1) × π
    0.152694702148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.47970455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423995971679688 × 2 - 1) × π
    0.152008056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.477547394014999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47970455} λ = 0.47970455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.477547394014999))-π/2
    2×atan(1.6121156650375)-π/2
    2×1.01558184391572-π/2
    2.03116368783144-1.57079632675     		φ = 0.46036736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47970455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.485046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46036736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.377107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75543 KachelY 55574 0.47970455 0.46036736 27.485046 26.377107
    Oben rechts KachelX + 1 75544 KachelY 55574 0.47975249 0.46036736 27.487793 26.377107
    Unten links KachelX 75543 KachelY + 1 55575 0.47970455 0.46032441 27.485046 26.374646
    Unten rechts KachelX + 1 75544 KachelY + 1 55575 0.47975249 0.46032441 27.487793 26.374646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46036736-0.46032441) × R
    4.29499999999861e-05 × 6371000     		dl = 273.634449999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46036736-0.46032441) × R
    4.29499999999861e-05 × 6371000     		dr = 273.634449999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47970455-0.47975249) × cos(0.46036736) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895889348289967 × 6371000     		do = 273.627667159402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47970455-0.47975249) × cos(0.46032441) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895908429171561 × 6371000     		du = 273.633494951782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46036736)-sin(0.46032441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895889348289967-0.895908429171561)×R²
    abs(0.47975249-0.47970455)×1.9080881593414e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9080881593414e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9080881593414e-05×40589641000000     		ar = 74874.7535617743m²