Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75542 / 60655
↖ ↑ ↗
← N 13.285392°
E 27.482300°		 ← 297.19 m → N 13.285392°
E 27.485046°		 →
↑
297.21 m
↓
↑
297.21 m
↓
N 13.282719°
E 27.482300°		 ← 297.19 m →
88 327 m²		 N 13.282719°
E 27.485046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576343536376953 y=0.462764739990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576343536376953 × 217)
    floor (0.576343536376953 × 131072)
    floor (75542.5)     		tx = 75542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462764739990234 × 217)
    floor (0.462764739990234 × 131072)
    floor (60655.5)     		ty = 60655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75542 / 60655 ti = "17/75542/60655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75542/60655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75542 ÷ 217
    75542 ÷ 131072     		x = 0.576339721679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60655 ÷ 217
    60655 ÷ 131072     		y = 0.462760925292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576339721679688 × 2 - 1) × π
    0.152679443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47965662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462760925292969 × 2 - 1) × π
    0.0744781494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.233980007045494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47965662} λ = 0.47965662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.233980007045494))-π/2
    2×atan(1.26361922847348)-π/2
    2×0.901335080259058-π/2
    1.80267016051812-1.57079632675     		φ = 0.23187383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47965662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.482300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23187383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.285392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75542 KachelY 60655 0.47965662 0.23187383 27.482300 13.285392
    Oben rechts KachelX + 1 75543 KachelY 60655 0.47970455 0.23187383 27.485046 13.285392
    Unten links KachelX 75542 KachelY + 1 60656 0.47965662 0.23182718 27.482300 13.282719
    Unten rechts KachelX + 1 75543 KachelY + 1 60656 0.47970455 0.23182718 27.485046 13.282719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23187383-0.23182718) × R
    4.66500000000092e-05 × 6371000     		dl = 297.207150000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23187383-0.23182718) × R
    4.66500000000092e-05 × 6371000     		dr = 297.207150000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47965662-0.47970455) × cos(0.23187383) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.973237494745298 × 6371000     		do = 297.189777067721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47965662-0.47970455) × cos(0.23182718) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.973248213931295 × 6371000     		du = 297.193050300116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23187383)-sin(0.23182718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973237494745298-0.973248213931295)×R²
    abs(0.47970455-0.47965662)×1.07191859965994e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.07191859965994e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.07191859965994e-05×40589641000000     		ar = 88327.4130815026m²