Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7554 / 7510
↖ ↑ ↗
← S 81.659685°
E151.962891°		 ← 708.80 m → S 81.659685°
E152.006836°		 →
↑
708.52 m
↓
↑
708.52 m
↓
S 81.666057°
E151.962891°		 ← 708.26 m →
502 006 m²		 S 81.666057°
E152.006836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.92218017578125 y=0.91680908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.92218017578125 × 213)
    floor (0.92218017578125 × 8192)
    floor (7554.5)     		tx = 7554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91680908203125 × 213)
    floor (0.91680908203125 × 8192)
    floor (7510.5)     		ty = 7510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7554 / 7510 ti = "13/7554/7510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7554/7510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7554 ÷ 213
    7554 ÷ 8192     		x = 0.922119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7510 ÷ 213
    7510 ÷ 8192     		y = 0.916748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922119140625 × 2 - 1) × π
    0.84423828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.65225278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916748046875 × 2 - 1) × π
    -0.83349609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.61850520484595
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65225278} λ = 2.65225278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61850520484595))-π/2
    2×atan(0.0729117695703484)-π/2
    2×0.0727829774052528-π/2
    0.145565954810506-1.57079632675     		φ = -1.42523037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65225278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.962891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42523037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.659685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7554 KachelY 7510 2.65225278 -1.42523037 151.962891 -81.659685
    Oben rechts KachelX + 1 7555 KachelY 7510 2.65301977 -1.42523037 152.006836 -81.659685
    Unten links KachelX 7554 KachelY + 1 7511 2.65225278 -1.42534158 151.962891 -81.666057
    Unten rechts KachelX + 1 7555 KachelY + 1 7511 2.65301977 -1.42534158 152.006836 -81.666057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42523037--1.42534158) × R
    0.000111210000000028 × 6371000     		dl = 708.51891000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42523037--1.42534158) × R
    0.000111210000000028 × 6371000     		dr = 708.51891000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65225278-2.65301977) × cos(-1.42523037) × R
    0.000766990000000245 × 0.145052424130675 × 6371000     		do = 708.797697213001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65225278-2.65301977) × cos(-1.42534158) × R
    0.000766990000000245 × 0.144942389394114 × 6371000     		du = 708.260013211132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42523037)-sin(-1.42534158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145052424130675-0.144942389394114)×R²
    abs(2.65301977-2.65225278)×0.000110034736560349×R²
    0.000766990000000245×0.000110034736560349×6371000²
    0.000766990000000245×0.000110034736560349×40589641000000     		ar = 502006.092714934m²