Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7554 / 7507
↖ ↑ ↗
← S 81.640540°
E151.962891°		 ← 710.41 m → S 81.640540°
E152.006836°		 →
↑
710.18 m
↓
↑
710.18 m
↓
S 81.646927°
E151.962891°		 ← 709.87 m →
504 327 m²		 S 81.646927°
E152.006836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.92218017578125 y=0.91644287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.92218017578125 × 213)
    floor (0.92218017578125 × 8192)
    floor (7554.5)     		tx = 7554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91644287109375 × 213)
    floor (0.91644287109375 × 8192)
    floor (7507.5)     		ty = 7507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7554 / 7507 ti = "13/7554/7507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7554/7507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7554 ÷ 213
    7554 ÷ 8192     		x = 0.922119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7507 ÷ 213
    7507 ÷ 8192     		y = 0.9163818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.922119140625 × 2 - 1) × π
    0.84423828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.65225278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9163818359375 × 2 - 1) × π
    -0.832763671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.61620423366418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65225278} λ = 2.65225278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61620423366418))-π/2
    2×atan(0.0730797306135959)-π/2
    2×0.0729500482313457-π/2
    0.145900096462691-1.57079632675     		φ = -1.42489623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65225278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.962891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42489623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.640540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7554 KachelY 7507 2.65225278 -1.42489623 151.962891 -81.640540
    Oben rechts KachelX + 1 7555 KachelY 7507 2.65301977 -1.42489623 152.006836 -81.640540
    Unten links KachelX 7554 KachelY + 1 7508 2.65225278 -1.42500770 151.962891 -81.646927
    Unten rechts KachelX + 1 7555 KachelY + 1 7508 2.65301977 -1.42500770 152.006836 -81.646927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42489623--1.42500770) × R
    0.000111470000000002 × 6371000     		dl = 710.175370000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42489623--1.42500770) × R
    0.000111470000000002 × 6371000     		dr = 710.175370000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65225278-2.65301977) × cos(-1.42489623) × R
    0.000766990000000245 × 0.145383022152651 × 6371000     		do = 710.413162229079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65225278-2.65301977) × cos(-1.42500770) × R
    0.000766990000000245 × 0.145272735568472 × 6371000     		du = 709.874247575507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42489623)-sin(-1.42500770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145383022152651-0.145272735568472)×R²
    abs(2.65301977-2.65225278)×0.00011028658417972×R²
    0.000766990000000245×0.00011028658417972×6371000²
    0.000766990000000245×0.00011028658417972×40589641000000     		ar = 504326.568901861m²