Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7554 / 5130
↖ ↑ ↗
← N 55.652798°
W 14.018555°		 ← 1 378.51 m → N 55.652798°
W 13.996582°		 →
↑
1 378.68 m
↓
↑
1 378.68 m
↓
N 55.640399°
W 14.018555°		 ← 1 378.95 m →
1 900 836 m²		 N 55.640399°
W 13.996582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461090087890625 y=0.313140869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461090087890625 × 214)
    floor (0.461090087890625 × 16384)
    floor (7554.5)     		tx = 7554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313140869140625 × 214)
    floor (0.313140869140625 × 16384)
    floor (5130.5)     		ty = 5130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7554 / 5130 ti = "14/7554/5130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7554/5130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7554 ÷ 214
    7554 ÷ 16384     		x = 0.4610595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5130 ÷ 214
    5130 ÷ 16384     		y = 0.3131103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4610595703125 × 2 - 1) × π
    -0.077880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24466994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3131103515625 × 2 - 1) × π
    0.373779296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.1742622930929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24466994} λ = -0.24466994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1742622930929))-π/2
    2×atan(3.23575502432275)-π/2
    2×1.27106044520127-π/2
    2.54212089040254-1.57079632675     		φ = 0.97132456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24466994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.018555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97132456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.652798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7554 KachelY 5130 -0.24466994 0.97132456 -14.018555 55.652798
    Oben rechts KachelX + 1 7555 KachelY 5130 -0.24428644 0.97132456 -13.996582 55.652798
    Unten links KachelX 7554 KachelY + 1 5131 -0.24466994 0.97110816 -14.018555 55.640399
    Unten rechts KachelX + 1 7555 KachelY + 1 5131 -0.24428644 0.97110816 -13.996582 55.640399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97132456-0.97110816) × R
    0.000216400000000005 × 6371000     		dl = 1378.68440000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97132456-0.97110816) × R
    0.000216400000000005 × 6371000     		dr = 1378.68440000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24466994--0.24428644) × cos(0.97132456) × R
    0.000383500000000009 × 0.564206424961978 × 6371000     		do = 1378.51342767149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24466994--0.24428644) × cos(0.97110816) × R
    0.000383500000000009 × 0.564385078896221 × 6371000     		du = 1378.94992898797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97132456)-sin(0.97110816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564206424961978-0.564385078896221)×R²
    abs(-0.24428644--0.24466994)×0.000178653934243433×R²
    0.000383500000000009×0.000178653934243433×6371000²
    0.000383500000000009×0.000178653934243433×40589641000000     		ar = 1900835.86411637m²