Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7554 / 4339
↖ ↑ ↗
← N 64.292293°
W 14.018555°		 ← 1 059.85 m → N 64.292293°
W 13.996582°		 →
↑
1 060.01 m
↓
↑
1 060.01 m
↓
N 64.282760°
W 14.018555°		 ← 1 060.21 m →
1 123 638 m²		 N 64.282760°
W 13.996582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461090087890625 y=0.264862060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461090087890625 × 214)
    floor (0.461090087890625 × 16384)
    floor (7554.5)     		tx = 7554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264862060546875 × 214)
    floor (0.264862060546875 × 16384)
    floor (4339.5)     		ty = 4339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7554 / 4339 ti = "14/7554/4339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7554/4339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7554 ÷ 214
    7554 ÷ 16384     		x = 0.4610595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4339 ÷ 214
    4339 ÷ 16384     		y = 0.26483154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4610595703125 × 2 - 1) × π
    -0.077880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24466994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26483154296875 × 2 - 1) × π
    0.4703369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.47760699388861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24466994} λ = -0.24466994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47760699388861))-π/2
    2×atan(4.38244590308414)-π/2
    2×1.34645425710733-π/2
    2.69290851421467-1.57079632675     		φ = 1.12211219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24466994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.018555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12211219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.292293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7554 KachelY 4339 -0.24466994 1.12211219 -14.018555 64.292293
    Oben rechts KachelX + 1 7555 KachelY 4339 -0.24428644 1.12211219 -13.996582 64.292293
    Unten links KachelX 7554 KachelY + 1 4340 -0.24466994 1.12194581 -14.018555 64.282760
    Unten rechts KachelX + 1 7555 KachelY + 1 4340 -0.24428644 1.12194581 -13.996582 64.282760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12211219-1.12194581) × R
    0.000166380000000022 × 6371000     		dl = 1060.00698000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12211219-1.12194581) × R
    0.000166380000000022 × 6371000     		dr = 1060.00698000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24466994--0.24428644) × cos(1.12211219) × R
    0.000383500000000009 × 0.433780292672553 × 6371000     		do = 1059.84606281058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24466994--0.24428644) × cos(1.12194581) × R
    0.000383500000000009 × 0.433930198155449 × 6371000     		du = 1060.21232365397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12211219)-sin(1.12194581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433780292672553-0.433930198155449)×R²
    abs(-0.24428644--0.24466994)×0.000149905482896562×R²
    0.000383500000000009×0.000149905482896562×6371000²
    0.000383500000000009×0.000149905482896562×40589641000000     		ar = 1123638.34642277m²