Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75539 / 55523
↖ ↑ ↗
← N 26.502531°
E 27.474060°		 ← 273.27 m → N 26.502531°
E 27.476806°		 →
↑
273.32 m
↓
↑
273.32 m
↓
N 26.500073°
E 27.474060°		 ← 273.28 m →
74 691 m²		 N 26.500073°
E 27.476806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576320648193359 y=0.423610687255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576320648193359 × 217)
    floor (0.576320648193359 × 131072)
    floor (75539.5)     		tx = 75539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423610687255859 × 217)
    floor (0.423610687255859 × 131072)
    floor (55523.5)     		ty = 55523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75539 / 55523 ti = "17/75539/55523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75539/55523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75539 ÷ 217
    75539 ÷ 131072     		x = 0.576316833496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55523 ÷ 217
    55523 ÷ 131072     		y = 0.423606872558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576316833496094 × 2 - 1) × π
    0.152633666992188 × 3.1415926535     		Λ = 0.47951281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423606872558594 × 2 - 1) × π
    0.152786254882812 × 3.1415926535     		Φ = 0.479992175895622
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47951281} λ = 0.47951281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.479992175895622))-π/2
    2×atan(1.61606175790755)-π/2
    2×1.01667637553678-π/2
    2.03335275107356-1.57079632675     		φ = 0.46255642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47951281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.474060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46255642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.502531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75539 KachelY 55523 0.47951281 0.46255642 27.474060 26.502531
    Oben rechts KachelX + 1 75540 KachelY 55523 0.47956074 0.46255642 27.476806 26.502531
    Unten links KachelX 75539 KachelY + 1 55524 0.47951281 0.46251352 27.474060 26.500073
    Unten rechts KachelX + 1 75540 KachelY + 1 55524 0.47956074 0.46251352 27.476806 26.500073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46255642-0.46251352) × R
    4.29000000000124e-05 × 6371000     		dl = 273.315900000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46255642-0.46251352) × R
    4.29000000000124e-05 × 6371000     		dr = 273.315900000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47951281-0.47956074) × cos(0.46255642) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.894914652965255 × 6371000     		do = 273.272955106067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47951281-0.47956074) × cos(0.46251352) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.894933795723644 × 6371000     		du = 273.278800577628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46255642)-sin(0.46251352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894914652965255-0.894933795723644)×R²
    abs(0.47956074-0.47951281)×1.91427583894344e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.91427583894344e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.91427583894344e-05×40589641000000     		ar = 74690.6425121602m²