Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75538 / 57778
↖ ↑ ↗
← N 20.833144°
E 27.471313°		 ← 285.46 m → N 20.833144°
E 27.474060°		 →
↑
285.42 m
↓
↑
285.42 m
↓
N 20.830577°
E 27.471313°		 ← 285.46 m →
81 476 m²		 N 20.830577°
E 27.474060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576313018798828 y=0.440814971923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576313018798828 × 217)
    floor (0.576313018798828 × 131072)
    floor (75538.5)     		tx = 75538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440814971923828 × 217)
    floor (0.440814971923828 × 131072)
    floor (57778.5)     		ty = 57778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75538 / 57778 ti = "17/75538/57778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75538/57778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75538 ÷ 217
    75538 ÷ 131072     		x = 0.576309204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57778 ÷ 217
    57778 ÷ 131072     		y = 0.440811157226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576309204101562 × 2 - 1) × π
    0.152618408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.47946487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440811157226562 × 2 - 1) × π
    0.118377685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.371894467252396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47946487} λ = 0.47946487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.371894467252396))-π/2
    2×atan(1.45047990008656)-π/2
    2×0.967201640446869-π/2
    1.93440328089374-1.57079632675     		φ = 0.36360695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47946487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.471313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36360695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.833144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75538 KachelY 57778 0.47946487 0.36360695 27.471313 20.833144
    Oben rechts KachelX + 1 75539 KachelY 57778 0.47951281 0.36360695 27.474060 20.833144
    Unten links KachelX 75538 KachelY + 1 57779 0.47946487 0.36356215 27.471313 20.830577
    Unten rechts KachelX + 1 75539 KachelY + 1 57779 0.47951281 0.36356215 27.474060 20.830577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36360695-0.36356215) × R
    4.48000000000115e-05 × 6371000     		dl = 285.420800000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36360695-0.36356215) × R
    4.48000000000115e-05 × 6371000     		dr = 285.420800000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47946487-0.47951281) × cos(0.36360695) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.934620102843843 × 6371000     		do = 285.4570365301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47946487-0.47951281) × cos(0.36356215) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.934636034921429 × 6371000     		du = 285.461902596687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36360695)-sin(0.36356215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934620102843843-0.934636034921429)×R²
    abs(0.47951281-0.47946487)×1.59320775863225e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.59320775863225e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.59320775863225e-05×40589641000000     		ar = 81476.0701839942m²