Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75537 / 54552
↖ ↑ ↗
← N 28.863918°
E 27.468567°		 ← 267.48 m → N 28.863918°
E 27.471313°		 →
↑
267.45 m
↓
↑
267.45 m
↓
N 28.861513°
E 27.468567°		 ← 267.49 m →
71 540 m²		 N 28.861513°
E 27.471313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576305389404297 y=0.416202545166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576305389404297 × 217)
    floor (0.576305389404297 × 131072)
    floor (75537.5)     		tx = 75537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416202545166016 × 217)
    floor (0.416202545166016 × 131072)
    floor (54552.5)     		ty = 54552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75537 / 54552 ti = "17/75537/54552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75537/54552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75537 ÷ 217
    75537 ÷ 131072     		x = 0.576301574707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54552 ÷ 217
    54552 ÷ 131072     		y = 0.41619873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576301574707031 × 2 - 1) × π
    0.152603149414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.47941693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41619873046875 × 2 - 1) × π
    0.1676025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.526538905426697
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47941693} λ = 0.47941693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.526538905426697))-π/2
    2×atan(1.69306230739928)-π/2
    2×1.0372833691732-π/2
    2.0745667383464-1.57079632675     		φ = 0.50377041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47941693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.468567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50377041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.863918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75537 KachelY 54552 0.47941693 0.50377041 27.468567 28.863918
    Oben rechts KachelX + 1 75538 KachelY 54552 0.47946487 0.50377041 27.471313 28.863918
    Unten links KachelX 75537 KachelY + 1 54553 0.47941693 0.50372843 27.468567 28.861513
    Unten rechts KachelX + 1 75538 KachelY + 1 54553 0.47946487 0.50372843 27.471313 28.861513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50377041-0.50372843) × R
    4.1979999999997e-05 × 6371000     		dl = 267.454579999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50377041-0.50372843) × R
    4.1979999999997e-05 × 6371000     		dr = 267.454579999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47941693-0.47946487) × cos(0.50377041) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.875768697482478 × 6371000     		do = 267.482302497247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47941693-0.47946487) × cos(0.50372843) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.875788961756862 × 6371000     		du = 267.488491728246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50377041)-sin(0.50372843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875768697482478-0.875788961756862)×R²
    abs(0.47946487-0.47941693)×2.0264274383508e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.0264274383508e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.0264274383508e-05×40589641000000     		ar = 71540.1945514574m²