Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75535 / 57777
↖ ↑ ↗
← N 20.835711°
E 27.463074°		 ← 285.45 m → N 20.835711°
E 27.465821°		 →
↑
285.48 m
↓
↑
285.48 m
↓
N 20.833144°
E 27.463074°		 ← 285.46 m →
81 493 m²		 N 20.833144°
E 27.465821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576290130615234 y=0.440807342529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576290130615234 × 217)
    floor (0.576290130615234 × 131072)
    floor (75535.5)     		tx = 75535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440807342529297 × 217)
    floor (0.440807342529297 × 131072)
    floor (57777.5)     		ty = 57777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75535 / 57777 ti = "17/75535/57777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75535/57777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75535 ÷ 217
    75535 ÷ 131072     		x = 0.576286315917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57777 ÷ 217
    57777 ÷ 131072     		y = 0.440803527832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576286315917969 × 2 - 1) × π
    0.152572631835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.47932106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440803527832031 × 2 - 1) × π
    0.118392944335938 × 3.1415926535     		Φ = 0.371942404152016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47932106} λ = 0.47932106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.371942404152016))-π/2
    2×atan(1.45054943326252)-π/2
    2×0.967224041650898-π/2
    1.9344480833018-1.57079632675     		φ = 0.36365176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47932106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.463074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36365176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.835711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75535 KachelY 57777 0.47932106 0.36365176 27.463074 20.835711
    Oben rechts KachelX + 1 75536 KachelY 57777 0.47936900 0.36365176 27.465821 20.835711
    Unten links KachelX 75535 KachelY + 1 57778 0.47932106 0.36360695 27.463074 20.833144
    Unten rechts KachelX + 1 75536 KachelY + 1 57778 0.47936900 0.36360695 27.465821 20.833144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36365176-0.36360695) × R
    4.48100000000062e-05 × 6371000     		dl = 285.48451000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36365176-0.36360695) × R
    4.48100000000062e-05 × 6371000     		dr = 285.48451000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47932106-0.47936900) × cos(0.36365176) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934604165333541 × 6371000     		do = 285.452168803892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47932106-0.47936900) × cos(0.36360695) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934620102843843 × 6371000     		du = 285.45703652977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36365176)-sin(0.36360695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934604165333541-0.934620102843843)×R²
    abs(0.47936900-0.47932106)×1.59375103016002e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59375103016002e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59375103016002e-05×40589641000000     		ar = 81492.8673832492m²