Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75534 / 57742
↖ ↑ ↗
← N 20.925528°
E 27.460327°		 ← 285.28 m → N 20.925528°
E 27.463074°		 →
↑
285.29 m
↓
↑
285.29 m
↓
N 20.922962°
E 27.460327°		 ← 285.29 m →
81 390 m²		 N 20.922962°
E 27.463074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576282501220703 y=0.440540313720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576282501220703 × 217)
    floor (0.576282501220703 × 131072)
    floor (75534.5)     		tx = 75534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440540313720703 × 217)
    floor (0.440540313720703 × 131072)
    floor (57742.5)     		ty = 57742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75534 / 57742 ti = "17/75534/57742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75534/57742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75534 ÷ 217
    75534 ÷ 131072     		x = 0.576278686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57742 ÷ 217
    57742 ÷ 131072     		y = 0.440536499023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576278686523438 × 2 - 1) × π
    0.152557373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47927312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440536499023438 × 2 - 1) × π
    0.118927001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.373620195638718
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47927312} λ = 0.47927312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.373620195638718))-π/2
    2×atan(1.4529851955319)-π/2
    2×0.968007842887871-π/2
    1.93601568577574-1.57079632675     		φ = 0.36521936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47927312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.460327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36521936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.925528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75534 KachelY 57742 0.47927312 0.36521936 27.460327 20.925528
    Oben rechts KachelX + 1 75535 KachelY 57742 0.47932106 0.36521936 27.463074 20.925528
    Unten links KachelX 75534 KachelY + 1 57743 0.47927312 0.36517458 27.460327 20.922962
    Unten rechts KachelX + 1 75535 KachelY + 1 57743 0.47932106 0.36517458 27.463074 20.922962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36521936-0.36517458) × R
    4.47799999999665e-05 × 6371000     		dl = 285.293379999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36521936-0.36517458) × R
    4.47799999999665e-05 × 6371000     		dr = 285.293379999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47927312-0.47932106) × cos(0.36521936) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.934045438293603 × 6371000     		do = 285.281519184591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47927312-0.47932106) × cos(0.36517458) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.934061430721965 × 6371000     		du = 285.286403683858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36521936)-sin(0.36517458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934045438293603-0.934061430721965)×R²
    abs(0.47932106-0.47927312)×1.59924283624768e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.59924283624768e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.59924283624768e-05×40589641000000     		ar = 81389.6256309517m²