Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75532 / 54532
↖ ↑ ↗
← N 28.912015°
E 27.454834°		 ← 267.36 m → N 28.912015°
E 27.457581°		 →
↑
267.33 m
↓
↑
267.33 m
↓
N 28.909611°
E 27.454834°		 ← 267.36 m →
71 473 m²		 N 28.909611°
E 27.457581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576267242431641 y=0.416049957275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576267242431641 × 217)
    floor (0.576267242431641 × 131072)
    floor (75532.5)     		tx = 75532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416049957275391 × 217)
    floor (0.416049957275391 × 131072)
    floor (54532.5)     		ty = 54532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75532 / 54532 ti = "17/75532/54532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75532/54532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75532 ÷ 217
    75532 ÷ 131072     		x = 0.576263427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54532 ÷ 217
    54532 ÷ 131072     		y = 0.416046142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576263427734375 × 2 - 1) × π
    0.15252685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47917725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416046142578125 × 2 - 1) × π
    0.16790771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.527497643419098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47917725} λ = 0.47917725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.527497643419098))-π/2
    2×atan(1.69468628891888)-π/2
    2×1.03770308835181-π/2
    2.07540617670361-1.57079632675     		φ = 0.50460985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47917725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.454834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50460985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.912015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75532 KachelY 54532 0.47917725 0.50460985 27.454834 28.912015
    Oben rechts KachelX + 1 75533 KachelY 54532 0.47922519 0.50460985 27.457581 28.912015
    Unten links KachelX 75532 KachelY + 1 54533 0.47917725 0.50456789 27.454834 28.909611
    Unten rechts KachelX + 1 75533 KachelY + 1 54533 0.47922519 0.50456789 27.457581 28.909611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50460985-0.50456789) × R
    4.19600000000075e-05 × 6371000     		dl = 267.327160000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50460985-0.50456789) × R
    4.19600000000075e-05 × 6371000     		dr = 267.327160000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47917725-0.47922519) × cos(0.50460985) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.87536316528603 × 6371000     		do = 267.358442526362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47917725-0.47922519) × cos(0.50456789) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.875383450746861 × 6371000     		du = 267.364638228248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50460985)-sin(0.50456789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87536316528603-0.875383450746861)×R²
    abs(0.47922519-0.47917725)×2.02854608314373e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.02854608314373e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.02854608314373e-05×40589641000000     		ar = 71473.0012928104m²