Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75530 / 54556
↖ ↑ ↗
← N 28.854297°
E 27.449341°		 ← 267.51 m → N 28.854297°
E 27.452087°		 →
↑
267.52 m
↓
↑
267.52 m
↓
N 28.851891°
E 27.449341°		 ← 267.51 m →
71 564 m²		 N 28.851891°
E 27.452087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576251983642578 y=0.416233062744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576251983642578 × 217)
    floor (0.576251983642578 × 131072)
    floor (75530.5)     		tx = 75530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416233062744141 × 217)
    floor (0.416233062744141 × 131072)
    floor (54556.5)     		ty = 54556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75530 / 54556 ti = "17/75530/54556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75530/54556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75530 ÷ 217
    75530 ÷ 131072     		x = 0.576248168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54556 ÷ 217
    54556 ÷ 131072     		y = 0.416229248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576248168945312 × 2 - 1) × π
    0.152496337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47908137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416229248046875 × 2 - 1) × π
    0.16754150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.526347157828217
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47908137} λ = 0.47908137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.526347157828217))-π/2
    2×atan(1.6927376978903)-π/2
    2×1.03719940201534-π/2
    2.07439880403067-1.57079632675     		φ = 0.50360248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47908137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.449341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50360248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.854297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75530 KachelY 54556 0.47908137 0.50360248 27.449341 28.854297
    Oben rechts KachelX + 1 75531 KachelY 54556 0.47912931 0.50360248 27.452087 28.854297
    Unten links KachelX 75530 KachelY + 1 54557 0.47908137 0.50356049 27.449341 28.851891
    Unten rechts KachelX + 1 75531 KachelY + 1 54557 0.47912931 0.50356049 27.452087 28.851891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50360248-0.50356049) × R
    4.19899999999362e-05 × 6371000     		dl = 267.518289999594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50360248-0.50356049) × R
    4.19899999999362e-05 × 6371000     		dr = 267.518289999594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47908137-0.47912931) × cos(0.50360248) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.875849750145184 × 6371000     		do = 267.507058066732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47908137-0.47912931) × cos(0.50356049) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.875870013070774 × 6371000     		du = 267.513246885775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50360248)-sin(0.50356049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875849750145184-0.875870013070774)×R²
    abs(0.47912931-0.47908137)×2.02629255898756e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.02629255898756e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.02629255898756e-05×40589641000000     		ar = 71563.8585585424m²