Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7553 / 7510
↖ ↑ ↗
← S 81.659685°
E151.918945°		 ← 708.80 m → S 81.659685°
E151.962891°		 →
↑
708.52 m
↓
↑
708.52 m
↓
S 81.666057°
E151.918945°		 ← 708.26 m →
502 006 m²		 S 81.666057°
E151.962891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.92205810546875 y=0.91680908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.92205810546875 × 213)
    floor (0.92205810546875 × 8192)
    floor (7553.5)     		tx = 7553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91680908203125 × 213)
    floor (0.91680908203125 × 8192)
    floor (7510.5)     		ty = 7510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7553 / 7510 ti = "13/7553/7510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7553/7510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7553 ÷ 213
    7553 ÷ 8192     		x = 0.9219970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7510 ÷ 213
    7510 ÷ 8192     		y = 0.916748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9219970703125 × 2 - 1) × π
    0.843994140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.65148579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916748046875 × 2 - 1) × π
    -0.83349609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.61850520484595
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.65148579} λ = 2.65148579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61850520484595))-π/2
    2×atan(0.0729117695703484)-π/2
    2×0.0727829774052528-π/2
    0.145565954810506-1.57079632675     		φ = -1.42523037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.65148579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.918945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42523037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.659685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7553 KachelY 7510 2.65148579 -1.42523037 151.918945 -81.659685
    Oben rechts KachelX + 1 7554 KachelY 7510 2.65225278 -1.42523037 151.962891 -81.659685
    Unten links KachelX 7553 KachelY + 1 7511 2.65148579 -1.42534158 151.918945 -81.666057
    Unten rechts KachelX + 1 7554 KachelY + 1 7511 2.65225278 -1.42534158 151.962891 -81.666057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42523037--1.42534158) × R
    0.000111210000000028 × 6371000     		dl = 708.51891000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42523037--1.42534158) × R
    0.000111210000000028 × 6371000     		dr = 708.51891000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.65148579-2.65225278) × cos(-1.42523037) × R
    0.000766989999999801 × 0.145052424130675 × 6371000     		do = 708.797697212591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.65148579-2.65225278) × cos(-1.42534158) × R
    0.000766989999999801 × 0.144942389394114 × 6371000     		du = 708.260013210722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42523037)-sin(-1.42534158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145052424130675-0.144942389394114)×R²
    abs(2.65225278-2.65148579)×0.000110034736560349×R²
    0.000766989999999801×0.000110034736560349×6371000²
    0.000766989999999801×0.000110034736560349×40589641000000     		ar = 502006.092714644m²