Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7553 / 5242
↖ ↑ ↗
← N 54.239550°
W 14.040527°		 ← 1 427.81 m → N 54.239550°
W 14.018555°		 →
↑
1 428.06 m
↓
↑
1 428.06 m
↓
N 54.226708°
W 14.040527°		 ← 1 428.25 m →
2 039 314 m²		 N 54.226708°
W 14.018555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.461029052734375 y=0.319976806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.461029052734375 × 214)
    floor (0.461029052734375 × 16384)
    floor (7553.5)     		tx = 7553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319976806640625 × 214)
    floor (0.319976806640625 × 16384)
    floor (5242.5)     		ty = 5242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7553 / 5242 ti = "14/7553/5242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7553/5242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7553 ÷ 214
    7553 ÷ 16384     		x = 0.46099853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5242 ÷ 214
    5242 ÷ 16384     		y = 0.3199462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46099853515625 × 2 - 1) × π
    -0.0780029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24505343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3199462890625 × 2 - 1) × π
    0.360107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13131083103333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24505343} λ = -0.24505343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13131083103333))-π/2
    2×atan(3.09971704349529)-π/2
    2×1.2587275341768-π/2
    2.51745506835359-1.57079632675     		φ = 0.94665874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24505343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.040527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94665874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.239550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7553 KachelY 5242 -0.24505343 0.94665874 -14.040527 54.239550
    Oben rechts KachelX + 1 7554 KachelY 5242 -0.24466994 0.94665874 -14.018555 54.239550
    Unten links KachelX 7553 KachelY + 1 5243 -0.24505343 0.94643459 -14.040527 54.226708
    Unten rechts KachelX + 1 7554 KachelY + 1 5243 -0.24466994 0.94643459 -14.018555 54.226708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94665874-0.94643459) × R
    0.00022415000000009 × 6371000     		dl = 1428.05965000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94665874-0.94643459) × R
    0.00022415000000009 × 6371000     		dr = 1428.05965000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24505343--0.24466994) × cos(0.94665874) × R
    0.000383489999999986 × 0.584397670139097 × 6371000     		do = 1427.80903092533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24505343--0.24466994) × cos(0.94643459) × R
    0.000383489999999986 × 0.584579545877294 × 6371000     		du = 1428.25339241884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94665874)-sin(0.94643459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584397670139097-0.584579545877294)×R²
    abs(-0.24466994--0.24505343)×0.000181875738196946×R²
    0.000383489999999986×0.000181875738196946×6371000²
    0.000383489999999986×0.000181875738196946×40589641000000     		ar = 2039313.76086945m²