Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75527 / 57798
↖ ↑ ↗
← N 20.781795°
E 27.441101°		 ← 285.55 m → N 20.781795°
E 27.443848°		 →
↑
285.55 m
↓
↑
285.55 m
↓
N 20.779227°
E 27.441101°		 ← 285.56 m →
81 540 m²		 N 20.779227°
E 27.443848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576229095458984 y=0.440967559814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576229095458984 × 217)
    floor (0.576229095458984 × 131072)
    floor (75527.5)     		tx = 75527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440967559814453 × 217)
    floor (0.440967559814453 × 131072)
    floor (57798.5)     		ty = 57798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75527 / 57798 ti = "17/75527/57798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75527/57798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75527 ÷ 217
    75527 ÷ 131072     		x = 0.576225280761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57798 ÷ 217
    57798 ÷ 131072     		y = 0.440963745117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576225280761719 × 2 - 1) × π
    0.152450561523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.47893756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440963745117188 × 2 - 1) × π
    0.118072509765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.370935729259995
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47893756} λ = 0.47893756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.370935729259995))-π/2
    2×atan(1.44908993631114)-π/2
    2×0.966753536215643-π/2
    1.93350707243129-1.57079632675     		φ = 0.36271075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47893756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.441101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36271075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.781795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75527 KachelY 57798 0.47893756 0.36271075 27.441101 20.781795
    Oben rechts KachelX + 1 75528 KachelY 57798 0.47898550 0.36271075 27.443848 20.781795
    Unten links KachelX 75527 KachelY + 1 57799 0.47893756 0.36266593 27.441101 20.779227
    Unten rechts KachelX + 1 75528 KachelY + 1 57799 0.47898550 0.36266593 27.443848 20.779227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36271075-0.36266593) × R
    4.4820000000001e-05 × 6371000     		dl = 285.548220000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36271075-0.36266593) × R
    4.4820000000001e-05 × 6371000     		dr = 285.548220000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47893756-0.47898550) × cos(0.36271075) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.934938458909279 × 6371000     		do = 285.554270666969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47893756-0.47898550) × cos(0.36266593) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.93495436055074 × 6371000     		du = 285.55912743758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36271075)-sin(0.36266593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934938458909279-0.93495436055074)×R²
    abs(0.47898550-0.47893756)×1.59016414610358e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.59016414610358e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.59016414610358e-05×40589641000000     		ar = 81540.2071370541m²