Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75526 / 60686
↖ ↑ ↗
← N 13.202512°
E 27.438355°		 ← 297.29 m → N 13.202512°
E 27.441101°		 →
↑
297.33 m
↓
↑
297.33 m
↓
N 13.199838°
E 27.438355°		 ← 297.29 m →
88 395 m²		 N 13.199838°
E 27.441101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576221466064453 y=0.463001251220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576221466064453 × 217)
    floor (0.576221466064453 × 131072)
    floor (75526.5)     		tx = 75526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463001251220703 × 217)
    floor (0.463001251220703 × 131072)
    floor (60686.5)     		ty = 60686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75526 / 60686 ti = "17/75526/60686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75526/60686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75526 ÷ 217
    75526 ÷ 131072     		x = 0.576217651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60686 ÷ 217
    60686 ÷ 131072     		y = 0.462997436523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576217651367188 × 2 - 1) × π
    0.152435302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47888963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462997436523438 × 2 - 1) × π
    0.074005126953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.232493963157272
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47888963} λ = 0.47888963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.232493963157272))-π/2
    2×atan(1.26174282939297)-π/2
    2×0.900611820208512-π/2
    1.80122364041702-1.57079632675     		φ = 0.23042731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47888963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.438355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23042731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.202512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75526 KachelY 60686 0.47888963 0.23042731 27.438355 13.202512
    Oben rechts KachelX + 1 75527 KachelY 60686 0.47893756 0.23042731 27.441101 13.202512
    Unten links KachelX 75526 KachelY + 1 60687 0.47888963 0.23038064 27.438355 13.199838
    Unten rechts KachelX + 1 75527 KachelY + 1 60687 0.47893756 0.23038064 27.441101 13.199838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23042731-0.23038064) × R
    4.66699999999987e-05 × 6371000     		dl = 297.334569999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23042731-0.23038064) × R
    4.66699999999987e-05 × 6371000     		dr = 297.334569999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47888963-0.47893756) × cos(0.23042731) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.973568889040018 × 6371000     		do = 297.290972301942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47888963-0.47893756) × cos(0.23038064) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.973579547107204 × 6371000     		du = 297.294226870974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23042731)-sin(0.23038064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973568889040018-0.973579547107204)×R²
    abs(0.47893756-0.47888963)×1.06580671860312e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.06580671860312e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.06580671860312e-05×40589641000000     		ar = 88395.3672782814m²