Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75525 / 55480
↖ ↑ ↗
← N 26.608174°
E 27.435608°		 ← 273.08 m → N 26.608174°
E 27.438355°		 →
↑
273.06 m
↓
↑
273.06 m
↓
N 26.605719°
E 27.435608°		 ← 273.08 m →
74 568 m²		 N 26.605719°
E 27.438355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576213836669922 y=0.423282623291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576213836669922 × 217)
    floor (0.576213836669922 × 131072)
    floor (75525.5)     		tx = 75525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423282623291016 × 217)
    floor (0.423282623291016 × 131072)
    floor (55480.5)     		ty = 55480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75525 / 55480 ti = "17/75525/55480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75525/55480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75525 ÷ 217
    75525 ÷ 131072     		x = 0.576210021972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55480 ÷ 217
    55480 ÷ 131072     		y = 0.42327880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576210021972656 × 2 - 1) × π
    0.152420043945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.47884169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42327880859375 × 2 - 1) × π
    0.1534423828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.482053462579285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47884169} λ = 0.47884169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.482053462579285))-π/2
    2×atan(1.61939636009395)-π/2
    2×1.01759828877712-π/2
    2.03519657755424-1.57079632675     		φ = 0.46440025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47884169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.435608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46440025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.608174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75525 KachelY 55480 0.47884169 0.46440025 27.435608 26.608174
    Oben rechts KachelX + 1 75526 KachelY 55480 0.47888963 0.46440025 27.438355 26.608174
    Unten links KachelX 75525 KachelY + 1 55481 0.47884169 0.46435739 27.435608 26.605719
    Unten rechts KachelX + 1 75526 KachelY + 1 55481 0.47888963 0.46435739 27.438355 26.605719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46440025-0.46435739) × R
    4.28600000000334e-05 × 6371000     		dl = 273.061060000213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46440025-0.46435739) × R
    4.28600000000334e-05 × 6371000     		dr = 273.061060000213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47884169-0.47888963) × cos(0.46440025) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894090346411933 × 6371000     		do = 273.078205679858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47884169-0.47888963) × cos(0.46435739) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894109542012591 × 6371000     		du = 273.084068510394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46440025)-sin(0.46435739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894090346411933-0.894109542012591)×R²
    abs(0.47888963-0.47884169)×1.91956006578842e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91956006578842e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91956006578842e-05×40589641000000     		ar = 74567.8247727022m²