Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75524 / 57796
↖ ↑ ↗
← N 20.786931°
E 27.432861°		 ← 285.54 m → N 20.786931°
E 27.435608°		 →
↑
285.55 m
↓
↑
285.55 m
↓
N 20.784363°
E 27.432861°		 ← 285.55 m →
81 537 m²		 N 20.784363°
E 27.435608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576206207275391 y=0.440952301025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576206207275391 × 217)
    floor (0.576206207275391 × 131072)
    floor (75524.5)     		tx = 75524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440952301025391 × 217)
    floor (0.440952301025391 × 131072)
    floor (57796.5)     		ty = 57796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75524 / 57796 ti = "17/75524/57796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75524/57796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75524 ÷ 217
    75524 ÷ 131072     		x = 0.576202392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57796 ÷ 217
    57796 ÷ 131072     		y = 0.440948486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576202392578125 × 2 - 1) × π
    0.15240478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47879375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440948486328125 × 2 - 1) × π
    0.11810302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.371031603059235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47879375} λ = 0.47879375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.371031603059235))-π/2
    2×atan(1.44922887272885)-π/2
    2×0.966798353504435-π/2
    1.93359670700887-1.57079632675     		φ = 0.36280038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47879375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.432861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36280038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.786931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75524 KachelY 57796 0.47879375 0.36280038 27.432861 20.786931
    Oben rechts KachelX + 1 75525 KachelY 57796 0.47884169 0.36280038 27.435608 20.786931
    Unten links KachelX 75524 KachelY + 1 57797 0.47879375 0.36275556 27.432861 20.784363
    Unten rechts KachelX + 1 75525 KachelY + 1 57797 0.47884169 0.36275556 27.435608 20.784363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36280038-0.36275556) × R
    4.4820000000001e-05 × 6371000     		dl = 285.548220000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36280038-0.36275556) × R
    4.4820000000001e-05 × 6371000     		dr = 285.548220000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47879375-0.47884169) × cos(0.36280038) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934906653540922 × 6371000     		do = 285.544556488472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47879375-0.47884169) × cos(0.36275556) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.934922558938201 × 6371000     		du = 285.549414406206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36280038)-sin(0.36275556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934906653540922-0.934922558938201)×R²
    abs(0.47884169-0.47879375)×1.59053972793588e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59053972793588e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59053972793588e-05×40589641000000     		ar = 81537.4334345691m²