Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75523 / 60679
↖ ↑ ↗
← N 13.221230°
E 27.430115°		 ← 297.27 m → N 13.221230°
E 27.432861°		 →
↑
297.33 m
↓
↑
297.33 m
↓
N 13.218556°
E 27.430115°		 ← 297.27 m →
88 389 m²		 N 13.218556°
E 27.432861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576198577880859 y=0.462947845458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576198577880859 × 217)
    floor (0.576198577880859 × 131072)
    floor (75523.5)     		tx = 75523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462947845458984 × 217)
    floor (0.462947845458984 × 131072)
    floor (60679.5)     		ty = 60679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75523 / 60679 ti = "17/75523/60679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75523/60679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75523 ÷ 217
    75523 ÷ 131072     		x = 0.576194763183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60679 ÷ 217
    60679 ÷ 131072     		y = 0.462944030761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576194763183594 × 2 - 1) × π
    0.152389526367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.47874582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462944030761719 × 2 - 1) × π
    0.0741119384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.232829521454613
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47874582} λ = 0.47874582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.232829521454613))-π/2
    2×atan(1.26216628871215)-π/2
    2×0.900775158505692-π/2
    1.80155031701138-1.57079632675     		φ = 0.23075399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47874582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.430115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23075399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.221230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75523 KachelY 60679 0.47874582 0.23075399 27.430115 13.221230
    Oben rechts KachelX + 1 75524 KachelY 60679 0.47879375 0.23075399 27.432861 13.221230
    Unten links KachelX 75523 KachelY + 1 60680 0.47874582 0.23070732 27.430115 13.218556
    Unten rechts KachelX + 1 75524 KachelY + 1 60680 0.47879375 0.23070732 27.432861 13.218556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23075399-0.23070732) × R
    4.66699999999987e-05 × 6371000     		dl = 297.334569999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23075399-0.23070732) × R
    4.66699999999987e-05 × 6371000     		dr = 297.334569999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47874582-0.47879375) × cos(0.23075399) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.973494225483584 × 6371000     		do = 297.268172887127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47874582-0.47879375) × cos(0.23070732) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.973504898393465 × 6371000     		du = 297.271431988554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23075399)-sin(0.23070732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973494225483584-0.973504898393465)×R²
    abs(0.47879375-0.47874582)×1.06729098811043e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.06729098811043e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.06729098811043e-05×40589641000000     		ar = 88388.5888979165m²