Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75523 / 60674
↖ ↑ ↗
← N 13.234599°
E 27.430115°		 ← 297.25 m → N 13.234599°
E 27.432861°		 →
↑
297.33 m
↓
↑
297.33 m
↓
N 13.231925°
E 27.430115°		 ← 297.26 m →
88 384 m²		 N 13.231925°
E 27.432861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576198577880859 y=0.462909698486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576198577880859 × 217)
    floor (0.576198577880859 × 131072)
    floor (75523.5)     		tx = 75523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462909698486328 × 217)
    floor (0.462909698486328 × 131072)
    floor (60674.5)     		ty = 60674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75523 / 60674 ti = "17/75523/60674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75523/60674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75523 ÷ 217
    75523 ÷ 131072     		x = 0.576194763183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60674 ÷ 217
    60674 ÷ 131072     		y = 0.462905883789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576194763183594 × 2 - 1) × π
    0.152389526367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.47874582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462905883789062 × 2 - 1) × π
    0.074188232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.233069205952713
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47874582} λ = 0.47874582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.233069205952713))-π/2
    2×atan(1.26246884666336)-π/2
    2×0.900891821044377-π/2
    1.80178364208875-1.57079632675     		φ = 0.23098732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47874582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.430115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23098732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.234599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75523 KachelY 60674 0.47874582 0.23098732 27.430115 13.234599
    Oben rechts KachelX + 1 75524 KachelY 60674 0.47879375 0.23098732 27.432861 13.234599
    Unten links KachelX 75523 KachelY + 1 60675 0.47874582 0.23094065 27.430115 13.231925
    Unten rechts KachelX + 1 75524 KachelY + 1 60675 0.47879375 0.23094065 27.432861 13.231925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23098732-0.23094065) × R
    4.66699999999987e-05 × 6371000     		dl = 297.334569999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23098732-0.23094065) × R
    4.66699999999987e-05 × 6371000     		dr = 297.334569999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47874582-0.47879375) × cos(0.23098732) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.973440833708064 × 6371000     		do = 297.251869066169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47874582-0.47879375) × cos(0.23094065) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.973451517218589 × 6371000     		du = 297.25513140463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23098732)-sin(0.23094065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973440833708064-0.973451517218589)×R²
    abs(0.47879375-0.47874582)×1.06835105248004e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.06835105248004e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.06835105248004e-05×40589641000000     		ar = 88383.7416895005m²