Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7552 / 7040
↖ ↑ ↗
← N 24.527135°
W 14.062500°		 ← 2 222.81 m → N 24.527135°
W 14.040527°		 →
↑
2 222.97 m
↓
↑
2 222.97 m
↓
N 24.507143°
W 14.062500°		 ← 2 223.16 m →
4 941 629 m²		 N 24.507143°
W 14.040527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460968017578125 y=0.429718017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460968017578125 × 214)
    floor (0.460968017578125 × 16384)
    floor (7552.5)     		tx = 7552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429718017578125 × 214)
    floor (0.429718017578125 × 16384)
    floor (7040.5)     		ty = 7040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7552 / 7040 ti = "14/7552/7040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7552/7040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7552 ÷ 214
    7552 ÷ 16384     		x = 0.4609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7040 ÷ 214
    7040 ÷ 16384     		y = 0.4296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4609375 × 2 - 1) × π
    -0.078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24543693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4296875 × 2 - 1) × π
    0.140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.441786466898437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24543693} λ = -0.24543693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.441786466898437))-π/2
    2×atan(1.55548355774086)-π/2
    2×0.999437792759148-π/2
    1.9988755855183-1.57079632675     		φ = 0.42807926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24543693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42807926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.527135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7552 KachelY 7040 -0.24543693 0.42807926 -14.062500 24.527135
    Oben rechts KachelX + 1 7553 KachelY 7040 -0.24505343 0.42807926 -14.040527 24.527135
    Unten links KachelX 7552 KachelY + 1 7041 -0.24543693 0.42773034 -14.062500 24.507143
    Unten rechts KachelX + 1 7553 KachelY + 1 7041 -0.24505343 0.42773034 -14.040527 24.507143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42807926-0.42773034) × R
    0.00034892000000003 × 6371000     		dl = 2222.96932000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42807926-0.42773034) × R
    0.00034892000000003 × 6371000     		dr = 2222.96932000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24543693--0.24505343) × cos(0.42807926) × R
    0.000383500000000009 × 0.909764772910752 × 6371000     		do = 2222.80870971027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24543693--0.24505343) × cos(0.42773034) × R
    0.000383500000000009 × 0.909909562645683 × 6371000     		du = 2223.16247135665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42807926)-sin(0.42773034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909764772910752-0.909909562645683)×R²
    abs(-0.24505343--0.24543693)×0.000144789734931261×R²
    0.000383500000000009×0.000144789734931261×6371000²
    0.000383500000000009×0.000144789734931261×40589641000000     		ar = 4941628.81669294m²