Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75518 / 61178
↖ ↑ ↗
← N 11.883478°
E 27.416382°		 ← 298.88 m → N 11.883478°
E 27.419128°		 →
↑
298.86 m
↓
↑
298.86 m
↓
N 11.880790°
E 27.416382°		 ← 298.88 m →
89 325 m²		 N 11.880790°
E 27.419128°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576160430908203 y=0.466754913330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576160430908203 × 217)
    floor (0.576160430908203 × 131072)
    floor (75518.5)     		tx = 75518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466754913330078 × 217)
    floor (0.466754913330078 × 131072)
    floor (61178.5)     		ty = 61178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75518 / 61178 ti = "17/75518/61178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75518/61178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75518 ÷ 217
    75518 ÷ 131072     		x = 0.576156616210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61178 ÷ 217
    61178 ÷ 131072     		y = 0.466751098632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576156616210938 × 2 - 1) × π
    0.152313232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47850613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466751098632812 × 2 - 1) × π
    0.066497802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.208909008544205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47850613} λ = 0.47850613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.208909008544205))-π/2
    2×atan(1.23233286166748)-π/2
    2×0.889101069614044-π/2
    1.77820213922809-1.57079632675     		φ = 0.20740581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47850613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.416382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20740581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.883478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75518 KachelY 61178 0.47850613 0.20740581 27.416382 11.883478
    Oben rechts KachelX + 1 75519 KachelY 61178 0.47855407 0.20740581 27.419128 11.883478
    Unten links KachelX 75518 KachelY + 1 61179 0.47850613 0.20735890 27.416382 11.880790
    Unten rechts KachelX + 1 75519 KachelY + 1 61179 0.47855407 0.20735890 27.419128 11.880790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20740581-0.20735890) × R
    4.69099999999834e-05 × 6371000     		dl = 298.863609999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20740581-0.20735890) × R
    4.69099999999834e-05 × 6371000     		dr = 298.863609999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47850613-0.47855407) × cos(0.20740581) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.978568407720148 × 6371000     		do = 298.879980068698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47850613-0.47855407) × cos(0.20735890) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.978578066444622 × 6371000     		du = 298.882930091768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20740581)-sin(0.20735890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978568407720148-0.978578066444622)×R²
    abs(0.47855407-0.47850613)×9.65872447433735e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.65872447433735e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.65872447433735e-06×40589641000000     		ar = 89324.7906436927m²