Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75517 / 57853
↖ ↑ ↗
← N 20.640495°
E 27.413636°		 ← 285.76 m → N 20.640495°
E 27.416382°		 →
↑
285.80 m
↓
↑
285.80 m
↓
N 20.637925°
E 27.413636°		 ← 285.77 m →
81 672 m²		 N 20.637925°
E 27.416382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576152801513672 y=0.441387176513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576152801513672 × 217)
    floor (0.576152801513672 × 131072)
    floor (75517.5)     		tx = 75517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441387176513672 × 217)
    floor (0.441387176513672 × 131072)
    floor (57853.5)     		ty = 57853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75517 / 57853 ti = "17/75517/57853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75517/57853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75517 ÷ 217
    75517 ÷ 131072     		x = 0.576148986816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57853 ÷ 217
    57853 ÷ 131072     		y = 0.441383361816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576148986816406 × 2 - 1) × π
    0.152297973632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.47845820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441383361816406 × 2 - 1) × π
    0.117233276367188 × 3.1415926535     		Φ = 0.368299199780891
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47845820} λ = 0.47845820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.368299199780891))-π/2
    2×atan(1.44527440007331)-π/2
    2×0.965520464399643-π/2
    1.93104092879929-1.57079632675     		φ = 0.36024460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47845820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.413636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36024460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.640495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75517 KachelY 57853 0.47845820 0.36024460 27.413636 20.640495
    Oben rechts KachelX + 1 75518 KachelY 57853 0.47850613 0.36024460 27.416382 20.640495
    Unten links KachelX 75517 KachelY + 1 57854 0.47845820 0.36019974 27.413636 20.637925
    Unten rechts KachelX + 1 75518 KachelY + 1 57854 0.47850613 0.36019974 27.416382 20.637925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36024460-0.36019974) × R
    4.48600000000354e-05 × 6371000     		dl = 285.803060000226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36024460-0.36019974) × R
    4.48600000000354e-05 × 6371000     		dr = 285.803060000226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47845820-0.47850613) × cos(0.36024460) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.935810629404375 × 6371000     		do = 285.761033490342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47845820-0.47850613) × cos(0.36019974) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.935826441753747 × 6371000     		du = 285.765861981445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36024460)-sin(0.36019974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935810629404375-0.935826441753747)×R²
    abs(0.47850613-0.47845820)×1.58123493722018e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.58123493722018e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.58123493722018e-05×40589641000000     		ar = 81672.0678128809m²