Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75517 / 57837
↖ ↑ ↗
← N 20.681614°
E 27.413636°		 ← 285.68 m → N 20.681614°
E 27.416382°		 →
↑
285.74 m
↓
↑
285.74 m
↓
N 20.679044°
E 27.413636°		 ← 285.69 m →
81 632 m²		 N 20.679044°
E 27.416382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576152801513672 y=0.441265106201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576152801513672 × 217)
    floor (0.576152801513672 × 131072)
    floor (75517.5)     		tx = 75517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441265106201172 × 217)
    floor (0.441265106201172 × 131072)
    floor (57837.5)     		ty = 57837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75517 / 57837 ti = "17/75517/57837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75517/57837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75517 ÷ 217
    75517 ÷ 131072     		x = 0.576148986816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57837 ÷ 217
    57837 ÷ 131072     		y = 0.441261291503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576148986816406 × 2 - 1) × π
    0.152297973632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.47845820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441261291503906 × 2 - 1) × π
    0.117477416992188 × 3.1415926535     		Φ = 0.369066190174812
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47845820} λ = 0.47845820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.369066190174812))-π/2
    2×atan(1.44638333687232)-π/2
    2×0.965879294740163-π/2
    1.93175858948033-1.57079632675     		φ = 0.36096226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47845820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.413636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36096226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.681614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75517 KachelY 57837 0.47845820 0.36096226 27.413636 20.681614
    Oben rechts KachelX + 1 75518 KachelY 57837 0.47850613 0.36096226 27.416382 20.681614
    Unten links KachelX 75517 KachelY + 1 57838 0.47845820 0.36091741 27.413636 20.679044
    Unten rechts KachelX + 1 75518 KachelY + 1 57838 0.47850613 0.36091741 27.416382 20.679044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36096226-0.36091741) × R
    4.48499999999852e-05 × 6371000     		dl = 285.739349999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36096226-0.36091741) × R
    4.48499999999852e-05 × 6371000     		dr = 285.739349999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47845820-0.47850613) × cos(0.36096226) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.935557411032402 × 6371000     		do = 285.683710214243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47845820-0.47850613) × cos(0.36091741) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.935573249974327 × 6371000     		du = 285.688546825702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36096226)-sin(0.36091741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935557411032402-0.935573249974327)×R²
    abs(0.47850613-0.47845820)×1.58389419258054e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.58389419258054e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.58389419258054e-05×40589641000000     		ar = 81631.7686809071m²