Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75515 / 61189
↖ ↑ ↗
← N 11.853911°
E 27.408142°		 ← 298.91 m → N 11.853911°
E 27.410889°		 →
↑
298.93 m
↓
↑
298.93 m
↓
N 11.851223°
E 27.408142°		 ← 298.92 m →
89 354 m²		 N 11.851223°
E 27.410889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576137542724609 y=0.466838836669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576137542724609 × 217)
    floor (0.576137542724609 × 131072)
    floor (75515.5)     		tx = 75515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466838836669922 × 217)
    floor (0.466838836669922 × 131072)
    floor (61189.5)     		ty = 61189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75515 / 61189 ti = "17/75515/61189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75515/61189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75515 ÷ 217
    75515 ÷ 131072     		x = 0.576133728027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61189 ÷ 217
    61189 ÷ 131072     		y = 0.466835021972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576133728027344 × 2 - 1) × π
    0.152267456054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.47836232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466835021972656 × 2 - 1) × π
    0.0663299560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.208381702648384
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47836232} λ = 0.47836232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.208381702648384))-π/2
    2×atan(1.2316832165798)-π/2
    2×0.888843053172238-π/2
    1.77768610634448-1.57079632675     		φ = 0.20688978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47836232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.408142°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20688978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.853911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75515 KachelY 61189 0.47836232 0.20688978 27.408142 11.853911
    Oben rechts KachelX + 1 75516 KachelY 61189 0.47841026 0.20688978 27.410889 11.853911
    Unten links KachelX 75515 KachelY + 1 61190 0.47836232 0.20684286 27.408142 11.851223
    Unten rechts KachelX + 1 75516 KachelY + 1 61190 0.47841026 0.20684286 27.410889 11.851223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20688978-0.20684286) × R
    4.69200000000058e-05 × 6371000     		dl = 298.927320000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20688978-0.20684286) × R
    4.69200000000058e-05 × 6371000     		dr = 298.927320000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47836232-0.47841026) × cos(0.20688978) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.978674539356755 × 6371000     		do = 298.912395402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47836232-0.47841026) × cos(0.20684286) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.978684176445365 × 6371000     		du = 298.91533881692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20688978)-sin(0.20684286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978674539356755-0.978684176445365)×R²
    abs(0.47841026-0.47836232)×9.63708860990398e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.63708860990398e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.63708860990398e-06×40589641000000     		ar = 89353.521222266m²