Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75514 / 57850
↖ ↑ ↗
← N 20.648206°
E 27.405395°		 ← 285.81 m → N 20.648206°
E 27.408142°		 →
↑
285.80 m
↓
↑
285.80 m
↓
N 20.645636°
E 27.405395°		 ← 285.81 m →
81 685 m²		 N 20.645636°
E 27.408142°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576129913330078 y=0.441364288330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576129913330078 × 217)
    floor (0.576129913330078 × 131072)
    floor (75514.5)     		tx = 75514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441364288330078 × 217)
    floor (0.441364288330078 × 131072)
    floor (57850.5)     		ty = 57850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75514 / 57850 ti = "17/75514/57850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75514/57850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75514 ÷ 217
    75514 ÷ 131072     		x = 0.576126098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57850 ÷ 217
    57850 ÷ 131072     		y = 0.441360473632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576126098632812 × 2 - 1) × π
    0.152252197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47831438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441360473632812 × 2 - 1) × π
    0.117279052734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.368443010479752
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47831438} λ = 0.47831438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.368443010479752))-π/2
    2×atan(1.44548226094078)-π/2
    2×0.96558775248414-π/2
    1.93117550496828-1.57079632675     		φ = 0.36037918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47831438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.405395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36037918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.648206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75514 KachelY 57850 0.47831438 0.36037918 27.405395 20.648206
    Oben rechts KachelX + 1 75515 KachelY 57850 0.47836232 0.36037918 27.408142 20.648206
    Unten links KachelX 75514 KachelY + 1 57851 0.47831438 0.36033432 27.405395 20.645636
    Unten rechts KachelX + 1 75515 KachelY + 1 57851 0.47836232 0.36033432 27.408142 20.645636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36037918-0.36033432) × R
    4.48600000000354e-05 × 6371000     		dl = 285.803060000226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36037918-0.36033432) × R
    4.48600000000354e-05 × 6371000     		dr = 285.803060000226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47831438-0.47836232) × cos(0.36037918) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.935763181056923 × 6371000     		do = 285.806162039208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47831438-0.47836232) × cos(0.36033432) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.935778999055931 × 6371000     		du = 285.810993263261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36037918)-sin(0.36033432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935763181056923-0.935778999055931)×R²
    abs(0.47836232-0.47831438)×1.58179990077389e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.58179990077389e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.58179990077389e-05×40589641000000     		ar = 81684.966080731m²