Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75513 / 57849
↖ ↑ ↗
← N 20.650776°
E 27.402649°		 ← 285.74 m → N 20.650776°
E 27.405395°		 →
↑
285.80 m
↓
↑
285.80 m
↓
N 20.648206°
E 27.402649°		 ← 285.75 m →
81 667 m²		 N 20.648206°
E 27.405395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576122283935547 y=0.441356658935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576122283935547 × 217)
    floor (0.576122283935547 × 131072)
    floor (75513.5)     		tx = 75513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441356658935547 × 217)
    floor (0.441356658935547 × 131072)
    floor (57849.5)     		ty = 57849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75513 / 57849 ti = "17/75513/57849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75513/57849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75513 ÷ 217
    75513 ÷ 131072     		x = 0.576118469238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57849 ÷ 217
    57849 ÷ 131072     		y = 0.441352844238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576118469238281 × 2 - 1) × π
    0.152236938476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.47826645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441352844238281 × 2 - 1) × π
    0.117294311523438 × 3.1415926535     		Φ = 0.368490947379372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47826645} λ = 0.47826645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.368490947379372))-π/2
    2×atan(1.44555155453967)-π/2
    2×0.965610181087421-π/2
    1.93122036217484-1.57079632675     		φ = 0.36042404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47826645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.402649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36042404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.650776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75513 KachelY 57849 0.47826645 0.36042404 27.402649 20.650776
    Oben rechts KachelX + 1 75514 KachelY 57849 0.47831438 0.36042404 27.405395 20.650776
    Unten links KachelX 75513 KachelY + 1 57850 0.47826645 0.36037918 27.402649 20.648206
    Unten rechts KachelX + 1 75514 KachelY + 1 57850 0.47831438 0.36037918 27.405395 20.648206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36042404-0.36037918) × R
    4.48599999999799e-05 × 6371000     		dl = 285.803059999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36042404-0.36037918) × R
    4.48599999999799e-05 × 6371000     		dr = 285.803059999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47826645-0.47831438) × cos(0.36042404) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.935747361174768 × 6371000     		do = 285.741713775314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47826645-0.47831438) × cos(0.36037918) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.935763181056923 × 6371000     		du = 285.746544566644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36042404)-sin(0.36037918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935747361174768-0.935763181056923)×R²
    abs(0.47831438-0.47826645)×1.58198821558209e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.58198821558209e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.58198821558209e-05×40589641000000     		ar = 81666.5465077363m²