Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75512 / 57816
↖ ↑ ↗
← N 20.735566°
E 27.399902°		 ← 285.64 m → N 20.735566°
E 27.402649°		 →
↑
285.61 m
↓
↑
285.61 m
↓
N 20.732997°
E 27.399902°		 ← 285.65 m →
81 583 m²		 N 20.732997°
E 27.402649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576114654541016 y=0.441104888916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576114654541016 × 217)
    floor (0.576114654541016 × 131072)
    floor (75512.5)     		tx = 75512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441104888916016 × 217)
    floor (0.441104888916016 × 131072)
    floor (57816.5)     		ty = 57816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75512 / 57816 ti = "17/75512/57816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75512/57816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75512 ÷ 217
    75512 ÷ 131072     		x = 0.57611083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57816 ÷ 217
    57816 ÷ 131072     		y = 0.44110107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57611083984375 × 2 - 1) × π
    0.1522216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47821851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44110107421875 × 2 - 1) × π
    0.1177978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.370072865066834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47821851} λ = 0.47821851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.370072865066834))-π/2
    2×atan(1.44784010778611)-π/2
    2×0.966350112047674-π/2
    1.93270022409535-1.57079632675     		φ = 0.36190390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47821851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.399902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36190390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.735566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75512 KachelY 57816 0.47821851 0.36190390 27.399902 20.735566
    Oben rechts KachelX + 1 75513 KachelY 57816 0.47826645 0.36190390 27.402649 20.735566
    Unten links KachelX 75512 KachelY + 1 57817 0.47821851 0.36185907 27.399902 20.732997
    Unten rechts KachelX + 1 75513 KachelY + 1 57817 0.47826645 0.36185907 27.402649 20.732997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36190390-0.36185907) × R
    4.48299999999957e-05 × 6371000     		dl = 285.611929999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36190390-0.36185907) × R
    4.48299999999957e-05 × 6371000     		dr = 285.611929999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47821851-0.47826645) × cos(0.36190390) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.935224432935028 × 6371000     		do = 285.641614495405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47821851-0.47826645) × cos(0.36185907) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.935240304300969 × 6371000     		du = 285.646462019092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36190390)-sin(0.36185907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935224432935028-0.935240304300969)×R²
    abs(0.47826645-0.47821851)×1.58713659409448e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.58713659409448e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.58713659409448e-05×40589641000000     		ar = 81583.345073313m²