Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75511 / 57863
↖ ↑ ↗
← N 20.614791°
E 27.397156°		 ← 285.87 m → N 20.614791°
E 27.399902°		 →
↑
285.87 m
↓
↑
285.87 m
↓
N 20.612220°
E 27.397156°		 ← 285.87 m →
81 721 m²		 N 20.612220°
E 27.399902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576107025146484 y=0.441463470458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576107025146484 × 217)
    floor (0.576107025146484 × 131072)
    floor (75511.5)     		tx = 75511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441463470458984 × 217)
    floor (0.441463470458984 × 131072)
    floor (57863.5)     		ty = 57863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75511 / 57863 ti = "17/75511/57863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75511/57863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75511 ÷ 217
    75511 ÷ 131072     		x = 0.576103210449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57863 ÷ 217
    57863 ÷ 131072     		y = 0.441459655761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576103210449219 × 2 - 1) × π
    0.152206420898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.47817057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441459655761719 × 2 - 1) × π
    0.117080688476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.367819830784691
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47817057} λ = 0.47817057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.367819830784691))-π/2
    2×atan(1.44458174636653)-π/2
    2×0.965296146154299-π/2
    1.9305922923086-1.57079632675     		φ = 0.35979597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47817057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.397156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35979597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.614791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75511 KachelY 57863 0.47817057 0.35979597 27.397156 20.614791
    Oben rechts KachelX + 1 75512 KachelY 57863 0.47821851 0.35979597 27.399902 20.614791
    Unten links KachelX 75511 KachelY + 1 57864 0.47817057 0.35975110 27.397156 20.612220
    Unten rechts KachelX + 1 75512 KachelY + 1 57864 0.47821851 0.35975110 27.399902 20.612220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35979597-0.35975110) × R
    4.48700000000302e-05 × 6371000     		dl = 285.866770000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35979597-0.35975110) × R
    4.48700000000302e-05 × 6371000     		dr = 285.866770000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47817057-0.47821851) × cos(0.35979597) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935968678709382 × 6371000     		do = 285.868926311448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47817057-0.47821851) × cos(0.35975110) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935984475743722 × 6371000     		du = 285.873751132351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35979597)-sin(0.35975110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935968678709382-0.935984475743722)×R²
    abs(0.47821851-0.47817057)×1.57970343394043e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57970343394043e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57970343394043e-05×40589641000000     		ar = 81721.1162498314m²