Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75511 / 57817
↖ ↑ ↗
← N 20.732997°
E 27.397156°		 ← 285.65 m → N 20.732997°
E 27.399902°		 →
↑
285.68 m
↓
↑
285.68 m
↓
N 20.730428°
E 27.397156°		 ← 285.65 m →
81 603 m²		 N 20.730428°
E 27.399902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576107025146484 y=0.441112518310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576107025146484 × 217)
    floor (0.576107025146484 × 131072)
    floor (75511.5)     		tx = 75511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441112518310547 × 217)
    floor (0.441112518310547 × 131072)
    floor (57817.5)     		ty = 57817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75511 / 57817 ti = "17/75511/57817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75511/57817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75511 ÷ 217
    75511 ÷ 131072     		x = 0.576103210449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57817 ÷ 217
    57817 ÷ 131072     		y = 0.441108703613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576103210449219 × 2 - 1) × π
    0.152206420898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.47817057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441108703613281 × 2 - 1) × π
    0.117782592773438 × 3.1415926535     		Φ = 0.370024928167213
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47817057} λ = 0.47817057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.370024928167213))-π/2
    2×atan(1.4477707044837)-π/2
    2×0.966327695977551-π/2
    1.9326553919551-1.57079632675     		φ = 0.36185907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47817057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.397156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36185907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.732997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75511 KachelY 57817 0.47817057 0.36185907 27.397156 20.732997
    Oben rechts KachelX + 1 75512 KachelY 57817 0.47821851 0.36185907 27.399902 20.732997
    Unten links KachelX 75511 KachelY + 1 57818 0.47817057 0.36181423 27.397156 20.730428
    Unten rechts KachelX + 1 75512 KachelY + 1 57818 0.47821851 0.36181423 27.399902 20.730428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36185907-0.36181423) × R
    4.48399999999904e-05 × 6371000     		dl = 285.675639999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36185907-0.36181423) × R
    4.48399999999904e-05 × 6371000     		dr = 285.675639999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47817057-0.47821851) × cos(0.36185907) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935240304300969 × 6371000     		do = 285.646462018761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47817057-0.47821851) × cos(0.36181423) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935256177327046 × 6371000     		du = 285.651310049497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36185907)-sin(0.36181423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935240304300969-0.935256177327046)×R²
    abs(0.47821851-0.47817057)×1.58730260774176e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58730260774176e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58730260774176e-05×40589641000000     		ar = 81602.9283467244m²