Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75511 / 57815
↖ ↑ ↗
← N 20.738135°
E 27.397156°		 ← 285.64 m → N 20.738135°
E 27.399902°		 →
↑
285.61 m
↓
↑
285.61 m
↓
N 20.735566°
E 27.397156°		 ← 285.64 m →
81 582 m²		 N 20.735566°
E 27.399902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576107025146484 y=0.441097259521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576107025146484 × 217)
    floor (0.576107025146484 × 131072)
    floor (75511.5)     		tx = 75511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441097259521484 × 217)
    floor (0.441097259521484 × 131072)
    floor (57815.5)     		ty = 57815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75511 / 57815 ti = "17/75511/57815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75511/57815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75511 ÷ 217
    75511 ÷ 131072     		x = 0.576103210449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57815 ÷ 217
    57815 ÷ 131072     		y = 0.441093444824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576103210449219 × 2 - 1) × π
    0.152206420898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.47817057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441093444824219 × 2 - 1) × π
    0.117813110351562 × 3.1415926535     		Φ = 0.370120801966454
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47817057} λ = 0.47817057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.370120801966454))-π/2
    2×atan(1.44790951441558)-π/2
    2×0.966372527737348-π/2
    1.9327450554747-1.57079632675     		φ = 0.36194873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47817057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.397156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36194873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.738135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75511 KachelY 57815 0.47817057 0.36194873 27.397156 20.738135
    Oben rechts KachelX + 1 75512 KachelY 57815 0.47821851 0.36194873 27.399902 20.738135
    Unten links KachelX 75511 KachelY + 1 57816 0.47817057 0.36190390 27.397156 20.735566
    Unten rechts KachelX + 1 75512 KachelY + 1 57816 0.47821851 0.36190390 27.399902 20.735566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36194873-0.36190390) × R
    4.48299999999957e-05 × 6371000     		dl = 285.611929999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36194873-0.36190390) × R
    4.48299999999957e-05 × 6371000     		dr = 285.611929999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47817057-0.47821851) × cos(0.36194873) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93520855968954 × 6371000     		do = 285.636766397324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47817057-0.47821851) × cos(0.36190390) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935224432935028 × 6371000     		du = 285.641614495074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36194873)-sin(0.36190390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93520855968954-0.935224432935028)×R²
    abs(0.47821851-0.47817057)×1.58732454885735e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58732454885735e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58732454885735e-05×40589641000000     		ar = 81581.9604806118m²