Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75510 / 57806
↖ ↑ ↗
← N 20.761251°
E 27.394409°		 ← 285.53 m → N 20.761251°
E 27.397156°		 →
↑
285.61 m
↓
↑
285.61 m
↓
N 20.758682°
E 27.394409°		 ← 285.54 m →
81 552 m²		 N 20.758682°
E 27.397156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576099395751953 y=0.441028594970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576099395751953 × 217)
    floor (0.576099395751953 × 131072)
    floor (75510.5)     		tx = 75510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441028594970703 × 217)
    floor (0.441028594970703 × 131072)
    floor (57806.5)     		ty = 57806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75510 / 57806 ti = "17/75510/57806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75510/57806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75510 ÷ 217
    75510 ÷ 131072     		x = 0.576095581054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57806 ÷ 217
    57806 ÷ 131072     		y = 0.441024780273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576095581054688 × 2 - 1) × π
    0.152191162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47812264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441024780273438 × 2 - 1) × π
    0.117950439453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.370552234063034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47812264} λ = 0.47812264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.370552234063034))-π/2
    2×atan(1.44853432382477)-π/2
    2×0.966574251817816-π/2
    1.93314850363563-1.57079632675     		φ = 0.36235218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47812264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.394409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36235218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.761251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75510 KachelY 57806 0.47812264 0.36235218 27.394409 20.761251
    Oben rechts KachelX + 1 75511 KachelY 57806 0.47817057 0.36235218 27.397156 20.761251
    Unten links KachelX 75510 KachelY + 1 57807 0.47812264 0.36230735 27.394409 20.758682
    Unten rechts KachelX + 1 75511 KachelY + 1 57807 0.47817057 0.36230735 27.397156 20.758682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36235218-0.36230735) × R
    4.48300000000512e-05 × 6371000     		dl = 285.611930000326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36235218-0.36230735) × R
    4.48300000000512e-05 × 6371000     		dr = 285.611930000326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47812264-0.47817057) × cos(0.36235218) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.93506562299526 × 6371000     		do = 285.533536821222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47812264-0.47817057) × cos(0.36230735) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.935081513154402 × 6371000     		du = 285.538389072475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36235218)-sin(0.36230735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93506562299526-0.935081513154402)×R²
    abs(0.47817057-0.47812264)×1.58901591423843e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.58901591423843e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.58901591423843e-05×40589641000000     		ar = 81552.4774753971m²