Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75509 / 57812
↖ ↑ ↗
← N 20.745840°
E 27.391663°		 ← 285.62 m → N 20.745840°
E 27.394409°		 →
↑
285.61 m
↓
↑
285.61 m
↓
N 20.743272°
E 27.391663°		 ← 285.63 m →
81 578 m²		 N 20.743272°
E 27.394409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576091766357422 y=0.441074371337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576091766357422 × 217)
    floor (0.576091766357422 × 131072)
    floor (75509.5)     		tx = 75509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441074371337891 × 217)
    floor (0.441074371337891 × 131072)
    floor (57812.5)     		ty = 57812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75509 / 57812 ti = "17/75509/57812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75509/57812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75509 ÷ 217
    75509 ÷ 131072     		x = 0.576087951660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57812 ÷ 217
    57812 ÷ 131072     		y = 0.441070556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576087951660156 × 2 - 1) × π
    0.152175903320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.47807470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441070556640625 × 2 - 1) × π
    0.11785888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.370264612665314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47807470} λ = 0.47807470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.370264612665314))-π/2
    2×atan(1.44811775426794)-π/2
    2×0.966439772523286-π/2
    1.93287954504657-1.57079632675     		φ = 0.36208322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47807470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.391663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36208322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.745840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75509 KachelY 57812 0.47807470 0.36208322 27.391663 20.745840
    Oben rechts KachelX + 1 75510 KachelY 57812 0.47812264 0.36208322 27.394409 20.745840
    Unten links KachelX 75509 KachelY + 1 57813 0.47807470 0.36203839 27.391663 20.743272
    Unten rechts KachelX + 1 75510 KachelY + 1 57813 0.47812264 0.36203839 27.394409 20.743272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36208322-0.36203839) × R
    4.48299999999957e-05 × 6371000     		dl = 285.611929999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36208322-0.36203839) × R
    4.48299999999957e-05 × 6371000     		dr = 285.611929999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47807470-0.47812264) × cos(0.36208322) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935160928676107 × 6371000     		do = 285.6222186598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47807470-0.47812264) × cos(0.36203839) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.935176807560047 × 6371000     		du = 285.627068479678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36208322)-sin(0.36203839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935160928676107-0.935176807560047)×R²
    abs(0.47812264-0.47807470)×1.58788839398349e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58788839398349e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58788839398349e-05×40589641000000     		ar = 81577.8057191858m²