Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75508 / 57820
↖ ↑ ↗
← N 20.725291°
E 27.388916°		 ← 285.66 m → N 20.725291°
E 27.391663°		 →
↑
285.61 m
↓
↑
285.61 m
↓
N 20.722722°
E 27.388916°		 ← 285.67 m →
81 589 m²		 N 20.722722°
E 27.391663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576084136962891 y=0.441135406494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576084136962891 × 217)
    floor (0.576084136962891 × 131072)
    floor (75508.5)     		tx = 75508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441135406494141 × 217)
    floor (0.441135406494141 × 131072)
    floor (57820.5)     		ty = 57820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75508 / 57820 ti = "17/75508/57820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75508/57820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75508 ÷ 217
    75508 ÷ 131072     		x = 0.576080322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57820 ÷ 217
    57820 ÷ 131072     		y = 0.441131591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576080322265625 × 2 - 1) × π
    0.15216064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.47802676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441131591796875 × 2 - 1) × π
    0.11773681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.369881117468353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47802676} λ = 0.47802676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.369881117468353))-π/2
    2×atan(1.44756251453723)-π/2
    2×0.96626044548487-π/2
    1.93252089096974-1.57079632675     		φ = 0.36172456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47802676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.388916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36172456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.725291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75508 KachelY 57820 0.47802676 0.36172456 27.388916 20.725291
    Oben rechts KachelX + 1 75509 KachelY 57820 0.47807470 0.36172456 27.391663 20.725291
    Unten links KachelX 75508 KachelY + 1 57821 0.47802676 0.36167973 27.388916 20.722722
    Unten rechts KachelX + 1 75509 KachelY + 1 57821 0.47807470 0.36167973 27.391663 20.722722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36172456-0.36167973) × R
    4.48299999999957e-05 × 6371000     		dl = 285.611929999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36172456-0.36167973) × R
    4.48299999999957e-05 × 6371000     		dr = 285.611929999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47802676-0.47807470) × cos(0.36172456) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.935287914198942 × 6371000     		do = 285.661003307412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47802676-0.47807470) × cos(0.36167973) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.935303778045535 × 6371000     		du = 285.665848534497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36172456)-sin(0.36167973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935287914198942-0.935303778045535)×R²
    abs(0.47807470-0.47802676)×1.58638465931338e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.58638465931338e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.58638465931338e-05×40589641000000     		ar = 81588.8824213558m²