Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75505 / 57839
↖ ↑ ↗
← N 20.676475°
E 27.380676°		 ← 285.75 m → N 20.676475°
E 27.383423°		 →
↑
285.74 m
↓
↑
285.74 m
↓
N 20.673905°
E 27.380676°		 ← 285.76 m →
81 652 m²		 N 20.673905°
E 27.383423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576061248779297 y=0.441280364990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576061248779297 × 217)
    floor (0.576061248779297 × 131072)
    floor (75505.5)     		tx = 75505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441280364990234 × 217)
    floor (0.441280364990234 × 131072)
    floor (57839.5)     		ty = 57839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75505 / 57839 ti = "17/75505/57839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75505/57839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75505 ÷ 217
    75505 ÷ 131072     		x = 0.576057434082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57839 ÷ 217
    57839 ÷ 131072     		y = 0.441276550292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576057434082031 × 2 - 1) × π
    0.152114868164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.47788295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441276550292969 × 2 - 1) × π
    0.117446899414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.368970316375572
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47788295} λ = 0.47788295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.368970316375572))-π/2
    2×atan(1.44624467325387)-π/2
    2×0.965834446259282-π/2
    1.93166889251856-1.57079632675     		φ = 0.36087257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47788295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.380676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36087257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.676475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75505 KachelY 57839 0.47788295 0.36087257 27.380676 20.676475
    Oben rechts KachelX + 1 75506 KachelY 57839 0.47793089 0.36087257 27.383423 20.676475
    Unten links KachelX 75505 KachelY + 1 57840 0.47788295 0.36082772 27.380676 20.673905
    Unten rechts KachelX + 1 75506 KachelY + 1 57840 0.47793089 0.36082772 27.383423 20.673905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36087257-0.36082772) × R
    4.48499999999852e-05 × 6371000     		dl = 285.739349999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36087257-0.36082772) × R
    4.48499999999852e-05 × 6371000     		dr = 285.739349999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47788295-0.47793089) × cos(0.36087257) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.935589083503419 × 6371000     		do = 285.752988165097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47788295-0.47793089) × cos(0.36082772) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.935604918681879 × 6371000     		du = 285.757824636196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36087257)-sin(0.36082772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935589083503419-0.935604918681879)×R²
    abs(0.47793089-0.47788295)×1.58351784602662e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.58351784602662e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.58351784602662e-05×40589641000000     		ar = 81651.5640975307m²