Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75505 / 57809
↖ ↑ ↗
← N 20.753545°
E 27.380676°		 ← 285.61 m → N 20.753545°
E 27.383423°		 →
↑
285.61 m
↓
↑
285.61 m
↓
N 20.750977°
E 27.380676°		 ← 285.61 m →
81 574 m²		 N 20.750977°
E 27.383423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576061248779297 y=0.441051483154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576061248779297 × 217)
    floor (0.576061248779297 × 131072)
    floor (75505.5)     		tx = 75505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441051483154297 × 217)
    floor (0.441051483154297 × 131072)
    floor (57809.5)     		ty = 57809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75505 / 57809 ti = "17/75505/57809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75505/57809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75505 ÷ 217
    75505 ÷ 131072     		x = 0.576057434082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57809 ÷ 217
    57809 ÷ 131072     		y = 0.441047668457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576057434082031 × 2 - 1) × π
    0.152114868164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.47788295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441047668457031 × 2 - 1) × π
    0.117904663085938 × 3.1415926535     		Φ = 0.370408423364174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47788295} λ = 0.47788295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.370408423364174))-π/2
    2×atan(1.44832602406956)-π/2
    2×0.966507013883789-π/2
    1.93301402776758-1.57079632675     		φ = 0.36221770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47788295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.380676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36221770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.753545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75505 KachelY 57809 0.47788295 0.36221770 27.380676 20.753545
    Oben rechts KachelX + 1 75506 KachelY 57809 0.47793089 0.36221770 27.383423 20.753545
    Unten links KachelX 75505 KachelY + 1 57810 0.47788295 0.36217287 27.380676 20.750977
    Unten rechts KachelX + 1 75506 KachelY + 1 57810 0.47793089 0.36217287 27.383423 20.750977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36221770-0.36217287) × R
    4.48299999999957e-05 × 6371000     		dl = 285.611929999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36221770-0.36217287) × R
    4.48299999999957e-05 × 6371000     		dr = 285.611929999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47788295-0.47793089) × cos(0.36221770) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.935113284291385 × 6371000     		do = 285.60766683867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47788295-0.47793089) × cos(0.36217287) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.93512916881307 × 6371000     		du = 285.61251838046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36221770)-sin(0.36217287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935113284291385-0.93512916881307)×R²
    abs(0.47793089-0.47788295)×1.58845216847725e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.58845216847725e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.58845216847725e-05×40589641000000     		ar = 81573.6497913749m²