Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75503 / 57841
↖ ↑ ↗
← N 20.671336°
E 27.375183°		 ← 285.76 m → N 20.671336°
E 27.377930°		 →
↑
285.80 m
↓
↑
285.80 m
↓
N 20.668765°
E 27.375183°		 ← 285.77 m →
81 673 m²		 N 20.668765°
E 27.377930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.576045989990234 y=0.441295623779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.576045989990234 × 217)
    floor (0.576045989990234 × 131072)
    floor (75503.5)     		tx = 75503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441295623779297 × 217)
    floor (0.441295623779297 × 131072)
    floor (57841.5)     		ty = 57841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75503 / 57841 ti = "17/75503/57841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75503/57841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75503 ÷ 217
    75503 ÷ 131072     		x = 0.576042175292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57841 ÷ 217
    57841 ÷ 131072     		y = 0.441291809082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.576042175292969 × 2 - 1) × π
    0.152084350585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.47778708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441291809082031 × 2 - 1) × π
    0.117416381835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.368874442576332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47778708} λ = 0.47778708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.368874442576332))-π/2
    2×atan(1.44610602292898)-π/2
    2×0.965789596260158-π/2
    1.93157919252032-1.57079632675     		φ = 0.36078287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47778708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.375183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36078287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.671336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75503 KachelY 57841 0.47778708 0.36078287 27.375183 20.671336
    Oben rechts KachelX + 1 75504 KachelY 57841 0.47783502 0.36078287 27.377930 20.671336
    Unten links KachelX 75503 KachelY + 1 57842 0.47778708 0.36073801 27.375183 20.668765
    Unten rechts KachelX + 1 75504 KachelY + 1 57842 0.47783502 0.36073801 27.377930 20.668765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36078287-0.36073801) × R
    4.48599999999799e-05 × 6371000     		dl = 285.803059999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36078287-0.36073801) × R
    4.48599999999799e-05 × 6371000     		dr = 285.803059999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47778708-0.47783502) × cos(0.36078287) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.935620751978349 × 6371000     		do = 285.762660532487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47778708-0.47783502) × cos(0.36073801) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.935636586922446 × 6371000     		du = 285.767496932006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36078287)-sin(0.36073801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935620751978349-0.935636586922446)×R²
    abs(0.47783502-0.47778708)×1.58349440961825e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.58349440961825e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.58349440961825e-05×40589641000000     		ar = 81672.5339565632m²