Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7550 / 5510
↖ ↑ ↗
← N 75.829040°
W 97.053222°		 ← 299.06 m → N 75.829040°
W 97.042236°		 →
↑
299.05 m
↓
↑
299.05 m
↓
N 75.826350°
W 97.053222°		 ← 299.12 m →
89 444 m²		 N 75.826350°
W 97.042236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230422973632812 y=0.168167114257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230422973632812 × 215)
    floor (0.230422973632812 × 32768)
    floor (7550.5)     		tx = 7550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.168167114257812 × 215)
    floor (0.168167114257812 × 32768)
    floor (5510.5)     		ty = 5510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7550 / 5510 ti = "15/7550/5510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7550/5510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7550 ÷ 215
    7550 ÷ 32768     		x = 0.23040771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5510 ÷ 215
    5510 ÷ 32768     		y = 0.16815185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.23040771484375 × 2 - 1) × π
    -0.5391845703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.69389828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16815185546875 × 2 - 1) × π
    0.6636962890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.08506338587396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69389828} λ = -1.69389828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08506338587396))-π/2
    2×atan(8.04510141132043)-π/2
    2×1.44713136964626-π/2
    2.89426273929251-1.57079632675     		φ = 1.32346641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69389828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.053222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32346641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.829040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7550 KachelY 5510 -1.69389828 1.32346641 -97.053222 75.829040
    Oben rechts KachelX + 1 7551 KachelY 5510 -1.69370654 1.32346641 -97.042236 75.829040
    Unten links KachelX 7550 KachelY + 1 5511 -1.69389828 1.32341947 -97.053222 75.826350
    Unten rechts KachelX + 1 7551 KachelY + 1 5511 -1.69370654 1.32341947 -97.042236 75.826350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32346641-1.32341947) × R
    4.69400000000508e-05 × 6371000     		dl = 299.054740000324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32346641-1.32341947) × R
    4.69400000000508e-05 × 6371000     		dr = 299.054740000324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69389828--1.69370654) × cos(1.32346641) × R
    0.000191739999999996 × 0.244816003630641 × 6371000     		do = 299.061241835736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69389828--1.69370654) × cos(1.32341947) × R
    0.000191739999999996 × 0.244861514955884 × 6371000     		du = 299.116837357446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32346641)-sin(1.32341947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244816003630641-0.244861514955884)×R²
    abs(-1.69370654--1.69389828)×4.55113252433859e-05×R²
    0.000191739999999996×4.55113252433859e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.55113252433859e-05×40589641000000     		ar = 89443.994990023m²