Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7550 / 4984
↖ ↑ ↗
← N 57.421295°
W 14.106446°		 ← 1 315.60 m → N 57.421295°
W 14.084473°		 →
↑
1 315.80 m
↓
↑
1 315.80 m
↓
N 57.409461°
W 14.106446°		 ← 1 316.03 m →
1 731 352 m²		 N 57.409461°
W 14.084473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460845947265625 y=0.304229736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460845947265625 × 214)
    floor (0.460845947265625 × 16384)
    floor (7550.5)     		tx = 7550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304229736328125 × 214)
    floor (0.304229736328125 × 16384)
    floor (4984.5)     		ty = 4984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7550 / 4984 ti = "14/7550/4984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7550/4984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7550 ÷ 214
    7550 ÷ 16384     		x = 0.4608154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4984 ÷ 214
    4984 ÷ 16384     		y = 0.30419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4608154296875 × 2 - 1) × π
    -0.078369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24620392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30419921875 × 2 - 1) × π
    0.3916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.23025259184912
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24620392} λ = -0.24620392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23025259184912))-π/2
    2×atan(3.42209382013545)-π/2
    2×1.28649348733748-π/2
    2.57298697467496-1.57079632675     		φ = 1.00219065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24620392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.106446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00219065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.421295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7550 KachelY 4984 -0.24620392 1.00219065 -14.106446 57.421295
    Oben rechts KachelX + 1 7551 KachelY 4984 -0.24582042 1.00219065 -14.084473 57.421295
    Unten links KachelX 7550 KachelY + 1 4985 -0.24620392 1.00198412 -14.106446 57.409461
    Unten rechts KachelX + 1 7551 KachelY + 1 4985 -0.24582042 1.00198412 -14.084473 57.409461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00219065-1.00198412) × R
    0.000206530000000038 × 6371000     		dl = 1315.80263000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00219065-1.00198412) × R
    0.000206530000000038 × 6371000     		dr = 1315.80263000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24620392--0.24582042) × cos(1.00219065) × R
    0.000383499999999981 × 0.538457642488981 × 6371000     		do = 1315.60198105395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24620392--0.24582042) × cos(1.00198412) × R
    0.000383499999999981 × 0.538631664040824 × 6371000     		du = 1316.0271641701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00219065)-sin(1.00198412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.538457642488981-0.538631664040824)×R²
    abs(-0.24582042--0.24620392)×0.000174021551842762×R²
    0.000383499999999981×0.000174021551842762×6371000²
    0.000383499999999981×0.000174021551842762×40589641000000     		ar = 1731352.2813903m²